Coordenadas polares

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Simetría en coordenadas polares

Al estudiar la simetría de funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma y = f (x)), hablamos de simetría con respecto al eje y y simetría con respecto al origen. En particular, si f (−x) = f (x) para todo x en el dominio de f, entonces f es una función par y su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si f (−x) = −f (x) para todo x en el dominio de f, entonces f es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría exhibe una gráfica, podemos aprender más sobre la forma y apariencia de la gráfica. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de manera similar.

TEOREMA 7.5 Simetría en ecuaciones y curvas polares

Considere una curva generada por la función r = f (θ) en coordenadas polares. i. La curva es simétrica con respecto al eje polar si para cada punto (r, θ) en el gráfico, el punto (r, −θ) también está en el gráfico. De manera similar, la ecuación r = f (θ) no cambia al reemplazar θ con −θ. ii. La curva es simétrica con respecto al polo si para cada punto (r, θ) en el gráfico, el punto (r, π + θ) también está en el gráfico. De manera similar, la ecuación r = f (θ) no cambia cuando se reemplaza r con −r, o  θ  con  π + θ. iii. La curva es simétrica con respecto a la línea vertical θ = π/2 si para cada punto (r, θ) en el gráfico, el punto (r, π − θ) también está en el gráfico. De manera similar, la ecuación r = f (θ) no cambia cuando θ se reemplaza por π − θ.

La siguiente tabla muestra ejemplos de cada tipo de simetría.

Simetría con respecto al eje polar: Para cada punto (r, θ) en la gráfica, también hay un punto reflejado directamente a través del eje horizontal (polar)
Simetría con respecto al polo: Para cada punto (r, θ) en la gráfica, también hay un punto en la gráfica reflejado a través del polo
Simetría con respecto a la recta vertical θ = π/2: Para cada punto (r, θ) en la gráfica, también hay un punto en la gráfica reflejado a través del eje vertical

Ejemplo ilustrativo 8.3_6 Usar simetría para graficar una ecuación polar

Encuentra la simetría de la rosa definida por la ecuación r = 3sen(2θ) y crea una gráfica.

Solución:

Suponga que el punto (r, θ) está en la gráfica de r = 3sen(2θ).

i. Para probar la simetría con respecto al eje polar, primero intente reemplazar θ con −θ. Esto da r = 3sen(2(−θ)) = −3sen(2θ). Dado que esto cambia la ecuación original, esta prueba no se cumple. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y reemplazando r con −r y θ con π − θ se obtiene

−r = 3sen(2(π − θ))

−r = 3sen(2π − 2θ)

−r = 3sen(−2θ)

−r = −3sen2θ.

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por −1 da r = 3sen2θ, que es la ecuación original. Esto demuestra que la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

ii. Para probar la simetría con respecto al polo, primero reemplace r con −r, lo que produce −r = 3sen(2θ). Multiplicar ambos lados por −1 da r = −3sen(2θ), que no concuerda con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y reemplazando θ con θ + π da

r = 3sen(2 (θ + π))

= 3sen(2θ + 2π)

= 3 (sen2θcos2π + cos2θsen2π)

= 3sen2θ.

Dado que esto concuerda con la ecuación original, la gráfica es simétrica con respecto al polo.

iii. Para probar la simetría con respecto a la línea vertical θ = π/2, primero reemplace r con −r y θ con −θ.

−r = 3sen (2(−θ)) − r

= 3sen(−2θ) − r

= −3sen2θ.

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por −1 da r = 3sen2θ, que es la ecuación original. Por lo tanto, la gráfica es simétrica con respecto a la línea vertical θ = π/2.

Esta gráfica tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que pasa por el polo. Para graficar la función, tabule los valores de θ entre 0 y π/2 y luego refleje el gráfico resultante.

θ	r
0	0
π/6	3√3/2 ≈ 2.6
π/4	3
π/3	3√3/2 ≈ 2.6
π/2	0

Esto da un pétalo de rosa, como se muestra en el siguiente gráfico.

Al reflejar esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo como se muestra a continuación:.

Ejercicio de control 8.3_5

Determine la simetría de la gráfica determinada por la ecuación r = 2cos(3θ) y cree una gráfica.