Coordenadas polares

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Curvas polares

Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos analizar cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función y = f (x) y crear una curva en el plano cartesiano. De manera similar, podemos graficar una curva que es generada por una función r = f (θ).

La idea general detrás de graficar una función en coordenadas polares es la misma que graficar una función en coordenadas rectangulares. Comience con una lista de valores para la variable independiente (θ en este caso) y calcule los valores correspondientes de la variable dependiente r. Este proceso genera una lista de pares ordenados, que se pueden trazar en el sistema de coordenadas polares. Por último, conecta los puntos y aprovecha los patrones que puedan aparecer. La función puede ser periódica, por ejemplo, lo que indica que solo se necesita un número limitado de valores para la variable independiente.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: TRAZAR UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES

1. Cree una tabla con dos columnas. La primera columna es para θ y la segunda columna es para r.
2. Cree una lista de valores para θ.
3. Calcule los valores r correspondientes para cada θ.
4. Grafique cada par ordenado (r, θ) en los ejes de coordenadas.
5. Conecta los puntos y busca un patrón.

Ejemplo ilustrativo 8.3_3 Graficar una función en coordenadas polares

Grafique la curva definida por la función r = 4senθ. Identifica la curva y reescribe la ecuación en coordenadas rectangulares.

Solución:

Debido a que la función es un múltiplo de una función seno, es periódica con un período de 2π, así que use valores para θ entre 0 y 2π. El resultado de los pasos 1 a 3 aparece en la siguiente tabla. La Figura 8.3_4 muestra el gráfico basado en esta tabla.

$θ$	$r = 4 sin θ$	$θ$	$r = 4 sin θ$
0	0	$π$	0
$\frac{π}{6}$	$2$	$\frac{7 π}{6}$	$−2$
$\frac{π}{4}$	$2 \sqrt{2} \approx 2.8$	$\frac{5 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} \approx −2.8$
$\frac{π}{3}$	$2 \sqrt{3} \approx 3.4$	$\frac{4 π}{3}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3.4$
$\frac{π}{2}$	$4$	$\frac{3 π}{2}$	$-4$
$\frac{2 π}{3}$	$2 \sqrt{3} \approx 3.4$	$\frac{5 π}{3}$	$−2 \sqrt{3} \approx −3.4$ ≈ −3.4
$\frac{3 π}{4}$	$2 \sqrt{2} \approx 2.8$	$\frac{7 π}{4}$	$−2 \sqrt{2} \approx −2.8$
$\frac{5 π}{6}$	$2$	11 $\frac{7 π}{4}$	$−2$
		$2 π$	0

**Figura 8.3_4** La gráfica de la función r = 4senθ es una circunferencia.

Esta es la gráfica de una circunferencia. La ecuación r = 4senθ se puede convertir en coordenadas rectangulares multiplicando primero ambos lados por r. Esto da la ecuación r² = 4rsenθ. Luego use los hechos de que r² = x² + y² y y = rsenθ. Esto da x² + y² = 4y. Para poner esta ecuación en forma estándar, reste 4y de ambos lados de la ecuación y complete el cuadrado:

Ésta es la ecuación de una circunferencia con radio 2 y centro (0, 2) en el sistema de coordenadas rectangular.

Ejercicio de control 8.3_3

Cree una gráfica de la curva definida por la función r = 4 + 4cosθ.

La gráfica del ejemplo 8.3_3 era la de una circunferencia. La ecuación de la circunferencia se puede transformar en coordenadas rectangulares usando las fórmulas de transformación de coordenadas en la ecuación r² = x² + y² y tanθ = y/x. El Ejemplo ilustrativo 8.3_5 da algunos ejemplos más de funciones para la transformación de coordenadas polares a rectangulares.

Ejemplo ilustrativo 8.3_4 Transformación de ecuaciones polares en coordenadas rectangulares

Reescribe cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas rectangulares e identifica la gráfica.

a. θ = π/3
b. r = 3
c. r = 6cosθ − 8senθ

Solución:

c. Toma la tangente de ambos lados. Esto da tanθ = tan(π/3) = √3. Dado que tanθ = y/x podemos reemplazar el lado izquierdo de esta ecuación por y/x. Esto da y/x = √3, que se puede reescribir como y = x√3. Ésta es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente √3. En general, cualquier ecuación polar de la forma θ = K representa una línea recta a través del polo con pendiente igual a tanK.

b. Primero, eleve ambos lados de la ecuación al cuadrado. Esto da r² = 9. Luego reemplace r² con x² + y². Esto da la ecuación x² + y² = 9, que es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen con radio 3. En general, cualquier ecuación polar de la forma r = k donde k es una constante positiva representa una circunferencia de radio k centrado Al origen. (Nota: al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto siempre debe tenerse en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos nuevos puntos. Por ejemplo, (−3, π/3) es el mismo punto que (3, 4π/3).)

c. Multiplica ambos lados de la ecuación por r. Esto conduce a r² = 6rcosθ − 8rsinθ. Luego usa las fórmulas

r² = x² + y², x = rcosθ, y = rsenθ.

Esto da

r² = 6(rcosθ) − 8(rsenθ),

x² + y² = 6x − 8y

Para poner esta ecuación en forma estándar, primero mueva las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, luego complete el cuadrado:

Esta es la ecuación de una circunferencia con centro en (3, −4) y radio 5. Note que la circunferencia pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades de distancia.

Ejercicio de control 8.3_4

Reescriba la ecuación r = secθtanθ en coordenadas rectangulares e identifica su gráfica.

Ya hemos visto varios ejemplos de cómo dibujar gráficas de curvas definidas por ecuaciones polares. En las tablas siguientes se ofrece un resumen de algunas curvas comunes. En cada ecuación, a y b son constantes arbitrarias.

Nombre	Ecuación	Ejemplo
Recta pasando por el polo	θ = k
Circunferencia	r = acosθ + bsenθ
Espiral	r = a + bθ
Cardioide	r = a(1 + cosθ) r = a(1 − cosθ) r = a(1 + senθ) r = a(1 − senθ)
Caracol	r = acosθ + b r = asenθ + b
Rosa	r = acos(bθ) r = asen(bθ)

Un cardioide es un caso especial de un caracol, en el que a = b o a = −b. La rosa es una curva muy interesante. Observe que la gráfica de r = 3sen2θ tiene cuatro pétalos. Sin embargo, la gráfica de r = 3sin3θ tiene tres pétalos como se muestra en la siguiente figura.

Si el coeficiente de θ es par, el gráfico tiene el doble de pétalos que el coeficiente. Si el coeficiente de θ es impar, entonces el número de pétalos es igual al coeficiente. Se le anima a explorar por qué sucede esto. Surgen gráficos aún más interesantes cuando el coeficiente de θ no es un número entero. Por ejemplo, si es racional, entonces la curva está cerrada; es decir, eventualmente termina donde comenzó (Figura 8.3_6 (a)). Sin embargo, si el coeficiente es irracional, la curva nunca se cierra (Figura 8.3_6 (b)). Aunque puede parecer que la curva está cerrada, un examen más detenido revela que los pétalos justo encima del eje x positivo son ligeramente más gruesos. Esto se debe a que el pétalo no coincide del todo con el punto de partida.

(Figura 8.3_6 Gráficos de rosas polares de funciones con (a) coeficiente racional y (b) coeficiente irracional. Tenga en cuenta que la rosa en la parte (b) en realidad llenaría todo el círculo si se trazara en su totalidad.)

Dado que la curva definida por el gráfico de r = 3sen(πθ) nunca se cierra, la curva representada en la Figura 8.3_6 (b) es solo una representación parcial. De hecho, este es un ejemplo de una curva que llena el espacio. Una curva que llena el espacio es aquella que de hecho ocupa un subconjunto bidimensional del plano real. En este caso, la curva ocupa el círculo de radio 3 centrado en el origen.

Ejemplo ilustrativo 8.3_5 Describiendo una espiral

Recuerde el nautilus en cámara presentado en el inicio del capítulo. Esta criatura muestra una espiral cuando se corta la mitad de la capa exterior. Es posible describir una espiral usando coordenadas rectangulares. La figura 8.3_7 muestra una espiral en coordenadas rectangulares. ¿Cómo describir matemáticamente esta curva?

**Figura 8.3_7** ¿Cómo podemos describir matemáticamente una gráfica en espiral?

Suponga que se describe una curva en el sistema de coordenadas polares mediante la función r = f (θ). Dado que tenemos fórmulas de conversión de coordenadas polares a rectangulares dadas por

x = rcosθ

y = rsenθ,

es posible reescribir estas fórmulas usando la función

x = f (θ) cosθ

y = f (θ) senθ.

Este paso proporciona una parametrización de la curva en coordenadas rectangulares utilizando θ como parámetro. Por ejemplo, la fórmula en espiral r = a + bθ se convierte en

x = (a + bθ) cosθ

y = (a + bθ) senθ.

Dejar que θ oscile entre −∞ y ∞ genera la espiral completa.

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José

a las 6:46 pm

por que en la en la curva polar r=4senθ no se grafica la parte inferio que los angulos son mayores de 180, por ejemplo el punto (-4,3π/2). (-2,7π/6),etc???

Responder

José Moy

a las 10:29 am

¿Cómo luce un ejemplo de una ecuación polar que no es simétrica?

fernando
a las 4:34 pm

la espiral es una curva no simétrica por ejemplo

Responder