Aplicaciones físicas de la integral

APLICACIONES FÍSICAS DE LA INTEGRAL: Objetivos de aprendizaje

6.5.1. Determinar la masa de un objeto unidimensional a partir de su función de densidad lineal.
6.5.2. Determinar la masa de un objeto circular bidimensional a partir de su función de densidad radial.
6.5.3. Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa a lo largo de una recta.
6.5.4. Calcular el trabajo realizado al bombear un líquido de una altura a otra.
6.5.5. Encuentrar la fuerza hidrostática contra una placa vertical sumergida.

En esta sección, examinamos algunas aplicaciones físicas de la integración de funciones. Comenzamos con el cálculo de la masa de un objeto a partir de una función de densidad. Luego dirigimos nuestra atención al trabajo y cerramos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática.

Masa y densidad

Podemos usar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa basada en una función de densidad. Primero consideramos una varilla delgada o alambre. Oriente la barra de manera que se alinee con el eje x, con el extremo izquierdo de la barra en x = a y el extremo derecho de la barra en x = b (Figura 6.23). Tenga en cuenta que aunque representamos la varilla con cierto grosor en las figuras, para fines matemáticos asumimos que la varilla es lo suficientemente delgada como para ser tratada como un objeto unidimensional.

Si la barra tiene una densidad constante ρ, dada en términos de masa por unidad de longitud, entonces la masa de la barra es solo el producto de la densidad y la longitud de la barra: (b − a) ρ. Sin embargo, si la densidad de la varilla no es constante, el problema se vuelve un poco más desafiante. Cuando la densidad de la barra varía de un punto a otro, utilizamos una función de densidad lineal, ρ(x), para denotar la densidad de la barra en cualquier punto, x. Sea ρ(x) una función de densidad lineal integrable. Ahora, para i = 0, 1, 2, …, n sea P = {x_i} una partición regular del intervalo cerrado [a, b], y para i = 1, 2, …, n elija un punto arbitrario x_i* ∈ [x_{i − 1}, x_i]. La figura 6.24 muestra un segmento representativo de la barra.

La masa m_i del segmento de la barra de x_{i − 1}  a x_i se aproxima por

Al agregar las masas de todos los segmentos nos da una aproximación para la masa de toda la barra:

Esta es una suma de Riemann. Tomando el límite cuando n → ∞, obtenemos una expresión para la masa exacta de la barra:

Establecemos este resultado en el siguiente teorema.

Teorema 6.5.1.  Fórmula de masa-densidad de un objeto unidimensional

Dada una barra delgada orientada a lo largo del eje x en el intervalo cerrado [a, b], dejemos que ρ(x) denote una función de densidad lineal que dé la densidad de la barra en un punto x en el intervalo. Entonces la masa de la barra está dada por

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