Aplicaciones físicas de la integral

Trabajo realizado en bombeo

Considere el trabajo realizado para bombear agua (u otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los problemas de resorte porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del tanque. Además, en lugar de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, estamos analizando el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque.

Examinamos el proceso en el contexto de un tanque cilíndrico, luego observamos un par de ejemplos usando tanques de diferentes formas. Suponga que un tanque cilíndrico de radio 4 my altura 10 m se llena a una profundidad de 8 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua sobre el borde superior del tanque?

Lo primero que debemos hacer es definir un marco de referencia. Dejamos que x represente la distancia vertical debajo de la parte superior del tanque. Es decir, orientamos el eje x verticalmente, con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo es positiva (consulte la siguiente figura).

Usando este sistema de coordenadas, el agua se extiende desde x = 2 hasta x = 10. Por lo tanto, dividimos el intervalo [2, 10] y observamos el trabajo requerido para levantar cada “capa” individual de agua. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, dejemos que P = {x_i} sea una partición regular del intervalo [2, 10], y para i = 1, 2, …, n, elija un punto arbitrario x_i* ∈ [x_{i − 1}, x_i]. La figura 6.28 muestra una capa representativa.

En problemas de bombeo, la fuerza requerida para elevar el agua a la parte superior del tanque es la fuerza requerida para vencer la gravedad, por lo que es igual al peso del agua. Dado que la densidad de peso del agua es de 9800 N / m³, o 62.4 lb / ft³, calcular el volumen de cada capa nos da el peso. En este caso, tenemos

Entonces, la fuerza necesaria para levantar cada capa es

Tenga en cuenta que este paso se vuelve un poco más difícil si tenemos un tanque no cilíndrico. Nos fijamos en un tanque no cilíndrico en los videos sobre los Ejercicios resueltos que tratan este tema.

También necesitamos saber la distancia que debe levantar el agua. En base a nuestra elección de sistemas de coordenadas, podemos usar x_i* como una aproximación de la distancia que se debe levantar la capa. Entonces el trabajo para levantar la i-ésima capa de agua W_i es aproximadamente

Al agregar el trabajo para cada capa, vemos que el trabajo aproximado para vaciar el tanque viene dado por

Esta es una suma de Riemann, entonces tomando el límite cuando n → ∞, obtenemos

El trabajo requerido para vaciar el tanque es de aproximadamente 23,650,000 J.

Para problemas de bombeo, los cálculos varían según la forma del tanque o contenedor. La siguiente estrategia de resolución de problemas establece un proceso paso a paso para resolver problemas de bombeo.

Estrategia para resolver problemas: Resolver problemas de bombeo

1. Dibuje una imagen del tanque y seleccione un marco de referencia apropiado.
2. Calcule el volumen de una capa representativa de agua.
3. Multiplica el volumen por la densidad de peso del agua para obtener la fuerza.
4. Calcule la distancia que se debe levantar la capa de agua.
5. Multiplica la fuerza y la distancia para obtener una variación del trabajo necesario para levantar la capa de agua.
6. Sume el trabajo requerido para levantar todas las capas. Esta expresión es una tarea del trabajo requerida para bombear la cantidad deseada de agua, y tiene la forma de una suma de Riemann.
7. Tome el límite cuando n → ∞ y evalúe la integral resultante para obtener el trabajo exacto requerido para bombear la cantidad deseada de agua.

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Ejercicios resueltos