Aplicaciones físicas de la integral

Fuerza hidrostática y presión

En esta última sección, observamos la fuerza y la presión ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de área, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o, quizás más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotado psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados pascales.

Comencemos con el caso simple de una placa de área A sumergida horizontalmente en agua a una profundidad s (Figura 6.29). Entonces, la fuerza ejercida sobre la placa es simplemente el peso del agua sobre ella, que viene dada por F = ρAs, donde ρ es la densidad de peso del agua (peso por unidad de volumen). Para encontrar la presión hidrostática, es decir, la presión ejercida por el agua sobre un objeto sumergido, dividimos la fuerza por el área. Entonces la presión es p = F / A = ρs.

Figura 6.29  Una placa sumergida horizontalmente en el agua.

Según el principio de Pascal, la presión a una profundidad dada es la misma en todas las direcciones, por lo que no importa si la placa está sumergida horizontal o verticalmente. Entonces, mientras sepamos la profundidad, conocemos la presión. Podemos aplicar el principio de Pascal para encontrar la fuerza ejercida sobre las superficies, como las presas, que están orientadas verticalmente. No podemos aplicar la fórmula F = ρAs directamente, porque la profundidad varía de un punto a otro en una superficie orientada verticalmente. Entonces, como lo hemos hecho muchas veces antes, formamos una partición, una suma de Riemann y, en última instancia, una integral definida para calcular la fuerza.

Supongamos que una placa delgada está sumergida en agua. Elegimos nuestro marco de referencia de modo que el eje x esté orientado verticalmente, con la dirección hacia abajo positiva, y el punto x = 0 correspondiente a un punto de referencia lógico. Supongamos que s(x) denota la profundidad en el punto x. Tenga en cuenta que a menudo dejamos que x = 0 corresponda a la superficie del agua. En este caso, la profundidad en cualquier punto simplemente viene dada por s(x) = x. Sin embargo, en algunos casos podemos querer seleccionar un punto de referencia diferente para x = 0, por lo que procedemos con el desarrollo en el caso más general. Por último, deje que w(x) denote el ancho de la placa en el punto x.

Suponga que el borde superior de la placa está en el punto x = a y el borde inferior de la placa está en el punto x = b. Entonces, para i = 0, 1, 2, …, n, dejemos que P = {xi} sea una partición regular del intervalo cerrado [a, b], y para i = 1, 2, …, n, elija un punto arbitrario xi* ∈ [xi − 1, xi]. La partición divide la placa en varias tiras finas y rectangulares (consulte la siguiente figura).

Figura 6.30  Una placa delgada sumergida verticalmente en agua.

Ahora calculemos la fuerza en una tira representativa. Si la tira es lo suficientemente delgada, podemos tratarla como si estuviera a una profundidad constante, s(xi*). Entonces tenemos

Sumando las fuerzas, obtenemos una estimación de la fuerza en la placa:

Esta es una suma de Riemann, por lo que tomar el límite nos da la fuerza exacta. Obtenemos

Evaluar esta integral nos da la fuerza sobre la placa. Resumimos esto en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia para resolver problemas: Encontrar la fuerza hidrostática

  1. Dibuje una imagen y seleccione un marco de referencia apropiado.
  2. Determine las funciones de profundidad y anchura, s(x) y w(x).
  3. Determine la densidad de peso de cualquier líquido con el que esté trabajando. La densidad de peso del agua es 62.4 lb / ft³, o 9800 N / m³.
  4. Usa la ecuación para calcular la fuerza total.

Ejercicios resueltos

1 comentario en “Aplicaciones físicas de la integral”

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