Álgebra lineal con aplicaciones

(2. Álgebra de matrices)

Multiplicación escalar

En la eliminación gaussiana, multiplicar una fila de una matriz por un número k significa multiplicar cada entrada de esa fila por k.

 

Definición 2.2  Multiplicación escalar de matrices

De manera más general, si A es cualquier matriz y k es cualquier número, el múltiplo escalar kA es la matriz obtenida de A al multiplicar cada entrada de A por k.

Si A = [a_ij], entonces

kA = [ka_ij]

◊

Por ejemplo, de acuerdo con la multiplicación escalar, 1A = A y (−1)A = −A para cualquier matriz A.

 

      El término escalar surge aquí porque el conjunto de números del que se extraen las entradas se suele denominar conjunto de escalares (se debe diferenciar entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales). Hemos estado usando números reales como escalares, pero igualmente bien podríamos haber estado usando números complejos.

Ejemplo ilustrativo 2.1_6

      Si A es cualquier matriz, tenga en cuenta que k A es del mismo tamaño que A para todos los escalares k. También tenemos que

0A = 0   y   k 0 = 0

porque la matriz cero tiene todas las entradas cero. En otras palabras, kA = 0 si k = 0 o A = 0. El inverso de esta afirmación también es cierto, como muestra el ejemplo 2.1_7.

Ejemplo ilustrativo 2.1_7

Si kA = 0, demuestre que k = 0 o A = 0.

Solución:

Escriba A = a_ij de modo que kA = 0 signifique ka_ij = 0 para todo i y j. Si k = 0, no hay nada que hacer. Si k ≠ 0, entonces ka_ij = 0 implica que a_ij = 0 para todo i y j; es decir, A = 0.  ◊

       Para referencia futura, las propiedades básicas de la suma de matrices y la multiplicación escalar se enumeran en el Teorema 2.1.1.

Teorema 2.1.1

Sean A, B y C matrices arbitrarias de tamaño m × n donde m y n son fijos. Sean k y p números reales arbitrarios. Luego

1.  A + B = B + A.
2.  A + (B + C) = (A + B) + C.
3.  Hay una matriz 0 de tamaño m × n, tal que 0 + A = A para cada A.
4.  Para cada A hay una matriz m × n, −A, tal que A + (−A) = 0.
5.  k (A + B) = k A + k B.
6.  (k + p) A = k A + p A.
7.  (k p) A = k (p A).
8.  1A = A.

◊

Prueba.  Las propiedades 1 a 4 se dieron previamente. Para comprobar la propiedad 5, deje que A =[aij]  y  B = [aij]  denoten matrices del mismo tamaño. Entonces A + B = [aij + bij], como antes, entonces la entrada (i, j) de k(A + B) es k(aij + bij) = kaij + kaij Pero esta es precisamente la entrada (i, j) de kA + kB, y se sigue que k(A + B) = kA + kB. Las otras propiedades se pueden verificar de manera similar; los detalles se dejan al lector ⊡

      Las propiedades del teorema 2.1.1 nos permiten hacer cálculos con matrices de la misma manera que se realizan los cálculos numéricos. Para empezar, la propiedad 2 implica que la suma

(A + B) + C = A + (B + C)

es la misma sin importar cómo se forme la asociación y por eso se escribe como A + B + C. Del mismo modo, la suma

A + B + C + D

es independiente de cómo se asocie; por ejemplo, es igual a (A + B) + (C + D)  y  A + [B + (C + D)].
Además, la propiedad 1 asegura que, por ejemplo

B + D + A + C = A + B + C + D

En otras palabras, el orden en que se agregan las matrices no importa. Una observación similar se aplica a las sumas de cinco (o más) matrices.

      Las propiedades 5 y 6 del teorema 2.1.1 se denominan leyes distributivas para la multiplicación escalar y se extienden a sumas de más de dos términos. Por ejemplo,

k (A + B − C) = kA + kB − kC
(k + p − m) A = kA + pA − mA

Observaciones similares son válidas para más de tres sumandos. Estos hechos, junto con las propiedades 7 y 8, nos permiten simplificar expresiones al recopilar términos semejantes, expandir y tomar factores comunes exactamente de la misma manera en que se manipulan las expresiones algebraicas que involucran variables y números reales. El siguiente ejemplo ilustra estas técnicas.

Ejemplo ilustrativo 2.1_8

Simplifica 2(A + 3C) −3(2C − B) − 3[2(2A + B − 4C) − 4(A − 2C)] donde A, B y C son todas matrices del mismo tamaño.

Solución:

La reducción procede como si A, B y C fueran variables.