Álgebra lineal con aplicaciones

| 2. Álgebra de matrices | 2.1 Suma, multiplicación escalar y transposición de matrices |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 2.1

1. Encuentre a, b, c y d si

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2. Calcule lo siguiente:

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3. SeaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-134.pngCalcule lo siguiente (cuando sea posible).

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4. Encuentre A si:

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5. Encuentre A en términos de B si:

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6. Si X, Y, A y B son matrices del mismo tamaño, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones para obtener X e Y en términos de A y B.

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7. Encuentre todas las matrices X e Y tales que:

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8. Simplifique las siguientes expresiones donde A, B y C son matrices.

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9. Si A es una matriz de 2 × 2, demuestre que:

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-142.png para algunos números a, b, c  y  d.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-143.png para algunos números p, q, r  y  s.

 

10. Sea  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-144.png

Si rA + sB + tC = 0 para algunos escalares r, s  y  t, demuestre que necesariamente r = s = t = 0.

 

11. a. Si Q + A = A se cumple para cada m × n matriz A, demuestre que Q = 0mn.

b. Si A es una matriz m × n  y  A + A′ = 0mn, demuestre que A′ = −A.

 

12. Si A denota una matriz m × n, demuestre que A = −A si y solo si A = 0.

 

13. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todas las entradas de la diagonal principal son cero. Si A y B son matrices diagonales, demuestre que las siguientes matrices también son diagonales.

a.  A + B
b.  A − B
c.  kA para cualquier número k.

 

14. En cada caso, determine todos s  y  t de manera que la matriz dada sea simétrica:

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15. En cada caso, encuentre la matriz A.

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16. Sean A y B matrices simétricas (del mismo tamaño). Demuestre que cada una de las siguientes matrices es simétrica

a.  (AB)
b.  kA para cualquier escalar k.

 

17. Demuestre que A + AT es simétrica para cualquier matriz cuadrada A.

 

18. Si A es una matriz cuadrada y A = kAT donde k ≠ ± 1, demuestre que A = 0.

 

19. En cada caso, muestre que la afirmación es verdadera o dé un ejemplo que demuestre que es falsa.

a. Si A + B = A + C, entonces B y C tienen el mismo tamaño.
b. Si A + B = 0, entonces B = 0.
c. Si la entrada (3, 1) de A es 5, entonces la entrada (1, 3) de AT es −5.
d. A y AT tienen la misma diagonal principal para cada matriz A.
e. Si B es simétrico y AT = 3B, entonces A = 3B.
f. Si A y B son simétricas, entonces kA + mB es simétrica para cualquier escalar k y m.

 

20. Una matriz cuadrada W se llama asimétrica si WT = −W. Sea A cualquier matriz cuadrada,

a. Demuestre que AAT es asimétrica.

b. Encuentre una matriz simétrica S y una matriz W asimétrica tal que A = S + W.
c. Demuestre que S y W en el inciso b) están determinados únicamente por A.

 

21. Si W es una matriz asimétrica (ejercicio 2.1.20), demuestre que las entradas en la diagonal principal son cero.

 

22. Demuestre las siguientes partes del Teorema 2.1.1.

a. (k + p) A = kA + pA
b. (kp) A = k (pA)

 

23. Sean A, A1, A2, …, An matrices del mismo tamaño. Utilice la inducción en n para verificar las siguientes extensiones de las propiedades 5 y 6 del Teorema 2.1.1

a.  k (A1 + A2 + ··· + An) = kA1 + kA2 + ··· + kAn para cualquier número k
b.  (k1 + k2 + ··· + kn) A = k1A + k2A + ··· + knA para cualquier número k1, k2, …, kn

 

24. Sea A una matriz cuadrada. Si A = pBT  y  B = qAT para alguna matriz B y números p y q, demuestre que A = 0 = B  o  pq = 1.
[Sugerencia: Ejemplo 2.1.7.]

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