Álgebra lineal con aplicaciones

| 2. Álgebra de matrices | 2.1 Suma, multiplicación escalar y transposición de matrices |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 2.1

1. Encuentre a, b, c y d si

 

2. Calcule lo siguiente:

 

3. SeaCalcule lo siguiente (cuando sea posible).

 

4. Encuentre A si:

 

5. Encuentre A en términos de B si:

 

6. Si X, Y, A y B son matrices del mismo tamaño, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones para obtener X e Y en términos de A y B.

 

7. Encuentre todas las matrices X e Y tales que:

 

8. Simplifique las siguientes expresiones donde A, B y C son matrices.

 

9. Si A es una matriz de 2 × 2, demuestre que:

para algunos números a, b, c  y  d.

para algunos números p, q, r  y  s.

 

10. Sea 

Si rA + sB + tC = 0 para algunos escalares r, s  y  t, demuestre que necesariamente r = s = t = 0.

 

11. a. Si Q + A = A se cumple para cada m × n matriz A, demuestre que Q = 0_mn.

b. Si A es una matriz m × n  y  A + A′ = 0_mn, demuestre que A′ = −A.

 

12. Si A denota una matriz m × n, demuestre que A = −A si y solo si A = 0.

 

13. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todas las entradas de la diagonal principal son cero. Si A y B son matrices diagonales, demuestre que las siguientes matrices también son diagonales.

a.  A + B
b.  A − B
c.  kA para cualquier número k.

 

14. En cada caso, determine todos s  y  t de manera que la matriz dada sea simétrica:

 

15. En cada caso, encuentre la matriz A.

 

16. Sean A y B matrices simétricas (del mismo tamaño). Demuestre que cada una de las siguientes matrices es simétrica

a.  (A − B)
b.  kA para cualquier escalar k.

 

17. Demuestre que A + A^T es simétrica para cualquier matriz cuadrada A.

 

18. Si A es una matriz cuadrada y A = kA^T donde k ≠ ± 1, demuestre que A = 0.

 

19. En cada caso, muestre que la afirmación es verdadera o dé un ejemplo que demuestre que es falsa.

a. Si A + B = A + C, entonces B y C tienen el mismo tamaño.
b. Si A + B = 0, entonces B = 0.
c. Si la entrada (3, 1) de A es 5, entonces la entrada (1, 3) de A^T es −5.
d. A y A^T tienen la misma diagonal principal para cada matriz A.
e. Si B es simétrico y A^T = 3B, entonces A = 3B.
f. Si A y B son simétricas, entonces kA + mB es simétrica para cualquier escalar k y m.

 

20. Una matriz cuadrada W se llama asimétrica si W^T = −W. Sea A cualquier matriz cuadrada,

a. Demuestre que A − A^T es asimétrica.

b. Encuentre una matriz simétrica S y una matriz W asimétrica tal que A = S + W.
c. Demuestre que S y W en el inciso b) están determinados únicamente por A.

 

21. Si W es una matriz asimétrica (ejercicio 2.1.20), demuestre que las entradas en la diagonal principal son cero.

 

22. Demuestre las siguientes partes del Teorema 2.1.1.

a. (k + p) A = kA + pA
b. (kp) A = k (pA)

 

23. Sean A, A₁, A₂, …, A_n matrices del mismo tamaño. Utilice la inducción en n para verificar las siguientes extensiones de las propiedades 5 y 6 del Teorema 2.1.1

a.  k (A₁ + A₂ + ··· + A_n) = kA₁ + kA₂ + ··· + kA_n para cualquier número k
b.  (k₁ + k₂ + ··· + k_n) A = k₁A + k₂A + ··· + k_nA para cualquier número k₁, k₂, …, k_n

 

24. Sea A una matriz cuadrada. Si A = pB^T  y  B = qA^T para alguna matriz B y números p y q, demuestre que A = 0 = B  o  pq = 1.
[Sugerencia: Ejemplo 2.1.7.]