| 7. Sucesiones y series infinitas | 7.1 Sucesiones |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.1

       Encuentre los primeros seis términos de cada una de las siguientes secuencias (1 a 4), comenzando con n = 1:

1. an = 1 + (−1) para  n ≥ 1

2. an = n2 − 1  para  n ≥ 1

3. a1 = 1  y  an = an − 1 + n  para  n ≥ 2

4. a1 = 1, a2 = 1  y  an + 2 = an + an + 1  para  n ≥ 1.

5. Encuentre una fórmula explícita para an donde a1 = 1  y  an − 1 + n  para  n ≥ 2.

6. Encuentre una fórmula an para el enésimo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a1 = 1 tal que an + 1an = 17 para n ≥ 1.

7. Encuentre una fórmula an para el enésimo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a1 = −3 tal que an + 1an = 4 para n ≥ 1.

8. Encuentre una fórmula an para el enésimo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a1 = 1 tal que an + 1/an = 10 para n ≥ 1.

9. Encuentre una fórmula an para el enésimo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a1 = 3 tal que an + 1/an = 1/10 para n ≥ 1.

10. Encuentre una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia cuyos primeros términos son {0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99,…}. (Sugerencia: primero agregue uno a cada término).

11. Encuentre una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia que satisfaga a1 = 0  y an= 2an − 1  + 1 para n ≥ 2.

 

      Encuentre una fórmula para el término general an de cada una de las siguientes secuencias:

12. {1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0,…} (Sugerencia: encuentre dónde senx toma estos valores)

13. {1, −1/3, 1/5, −1/7, …}.

 

      Encuentre una función f (n) que identifique el enésimo término an de las siguientes secuencias definidas recursivamente, como an = f (n): 

14. a1 = 1 y an + 1 = −an para n ≥ 1

15. a1 = 2 y an + 1 = 2an para n ≥ 1

16. a1 = 1 y an + 1 = (n + 1)an para n ≥ 1

17. a1 = 2 y an + 1 = (n + 1)an/2 para n ≥ 1

18. a1 = 1 y an + 1 = an/2n para n ≥ 1.

 

      Grafique los primeros N términos de cada secuencia. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge:

19. [T]  a1 = 1, a2 = 2, y para n ≥ 2, an = (an − 1 + an − 2)/2; N = 30

20. [T]  a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 y para n ≥ 4, an = (an − 1 + an −+ an − 3)/3, N = 30

21. [T]  a1 = 1, a2 = 2, y para n ≥ 3, an = √(an − 1 an − 2); N = 30

22. [T]  a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, y para n ≥ 4, an = √(an − 1 an − 2 an − 3); N = 30.

 

Suponga que limn → ∞ an = 1, limn → ∞ bn = −1 y 0 <−bn < an para todo n. Evalúe cada uno de los siguientes límites, o indique que el límite no existe, o indique que no hay suficiente información para determinar si el límite existe:

23. limn → ∞ (3an − 4bn)

24. limn → ∞ ((1/2)bn − (1/2)an)

25. limn → ∞ (an + bn)/(anbn)

26. limn → ∞ (anbn)/(an + bn).

Encuentre el límite de cada una de las siguientes secuencias, usando la regla de L’Hôpital cuando sea apropiado.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-50.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-51.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-52.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-54.png   Pista:  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-55.png

Para cada una de las siguientes sucesiones, cuyos enésimos términos se indican, determine si la secuencia está limitada y si finalmente es monótona, creciente o decreciente.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-56.png

33.  senn

34.  cosn2

35.  n1/nn ≥ 3

36.  n1/nn ≥ 3

37.  tann

38.  Determine si la secuencia definida a continuación tiene un límite. Si es así, encuentre el límite.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-57.png

39.  Determine si la secuencia definida a continuación tiene un límite. Si es así, encuentre el límite.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png

Usa el teorema de compresión para encontrar el límite de cada una de las siguientes secuencias.

40.  n sen(1/n)

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-59.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-61.png

43.  an = senn sen(1/n)

Para las siguientes sucesiones, grafique los primeros 25 términos de la secuencia e indique si la evidencia gráfica sugiere que la sucesión converge o diverge.

44. [T]  an = senn

45. [T]  an = cosn

Determine el límite de la secuencia o demuestre que la sucesión diverge. Si converge, encuentra su límite.

46.  an = tan1(n2)

47.  an = (2n)1/n n1/n

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-62.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-63.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-64.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-65.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-66.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-67.png

El método de Newton busca aproximar una solución f (x) = 0 que comienza con una aproximación inicial x0 y define sucesivamente una secuencia Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-68.png Para la elección dada de  f  y x0, describe la fórmula para xn + 1. Si la secuencia parece converger, dé una fórmula exacta para la solución x, luego identifique el límite x con una precisión de cuatro lugares decimales y el n más pequeño de manera que xn concuerde con x hasta cuatro lugares decimales.

54. [T]  f (x) = x2 − 2, x0 = 1

55. [T]  f (x) = (x − 1)2 − 2, x0 = 2

56. [T]  f (x) = ex − 2, x0 = 1

57. [T]  f (x) = ln x − 1, x0 = 2

58. [T]  Suponga que comienza con un litro de vinagre y extrae repetidamente 0.1L, reemplaza con agua, mezcla y repite.
a. Encuentre una fórmula para la concentración después de n pasos.
b. ¿Después de cuántos pasos la mezcla contiene menos del 10% de vinagre?

59. [T] Un lago contiene inicialmente 2000 peces. Suponga que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en un 6% cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas adversas, se pierden 150 peces cada mes.
a. Explique por qué la población de peces después de n meses se modela con Pn = 1.06Pn − 1 − 150 con P0 = 2000.
b. ¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año?

60. [T]  Una cuenta bancaria gana 5% de interés compuesto mensualmente. Suponga que inicialmente se depositan $1000 en la cuenta, pero que se retiran $10 cada mes.
a. Muestre que la cantidad en la cuenta después de n meses es An = (1 + .05/12) An − 1 − 10; A0 = 1000.
b. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 1 año?
c. ¿La cantidad de dinero aumenta o disminuye?
d. Suponga que en lugar de $10, se retira una cantidad d fija de dólares cada mes. Encuentre un valor de d tal que la cantidad en la cuenta después de cada mes siga siendo $1000.
e. ¿Qué sucede si d es mayor que esta cantidad?

61. [T]  Un estudiante obtiene un préstamo universitario de $10,000 a una tasa de interés anual del 6%, compuesto mensualmente.
a. Si el estudiante hace pagos de $100 por mes, ¿cuánto debe el estudiante después de 12 meses?
b. ¿Después de cuántos meses se cancelará el préstamo?

62. [T]  Considere una serie que combina crecimiento geométrico y disminución aritmética. Sea a1 = 1. Tome a > 1 y 0 < b < a. Establezca an + 1 = aanb. Encuentre una fórmula para an + 1 en términos de an, a y b y una relación entre a y b tal que a converja.

63. [T]  La representación binaria x = 0.b1b2b3 … de un número x entre 0 y 1 se puede definir de la siguiente manera. Sea b1 = 0 si x < 1/2 y b1 = 1 si 1/2 ≤ x < 1. Sea x1 = 2xb1. Sea b2 = 0 si x1 < 1/2 y b2 = 1 si 1/2 ≤ x < 1. Sea x2 = 2x1b2 y, en general, xn = 2xn − 1bn y bn − 1 = 0 si xn <1/2 y bn − 1 = 1 si 1/2 ≤ xn < 1. Encuentra la expansión binaria de 1/3.

64. [T]  Para encontrar una aproximación para π, establezca a0 = √(2 + 1), a1 = √(2 + a0) y, en general, an + 1 = √(2 + an). Finalmente, establezca pn = √(3.2n2an). Encuentre los primeros diez términos de pn y compare los valores con π.

       Para los siguientes dos ejercicios, suponga que tiene acceso a un programa de computadora o fuente de Internet que puede generar una lista de ceros y unos de cualquier longitud deseada. Los generadores de números pseudoaleatorios (PRNG) juegan un papel importante en la simulación de ruido aleatorio en sistemas físicos al crear secuencias de ceros y unos que parecen el resultado de lanzar una moneda al aire repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define recursivamente una secuencia de N números enteros a1, a2, …, aN de apariencia aleatoria fijando dos enteros especiales K y M y dejando que an + 1 sea el resto después de dividir K.an en M, luego crea una secuencia de bits de ceros y unos cuyo enésimo término bn es igual a uno si an es impar e igual a cero si an es par. Si los bits bn son pseudoaleatorios, entonces el comportamiento de su promedio (b1 + b2 + ⋯ + bN) / N debería ser similar al comportamiento de los promedios de bits generados verdaderamente al azar.

65. [T]  Comenzando con K = 16.807 y M = 2.147.483.647, usando diez valores iniciales diferentes de a1, calcule secuencias de bits bn hasta n = 1000 y compare sus promedios con diez de tales secuencias generadas por un generador de bits aleatorio.

66. [T]  Encuentra los primeros 1000 dígitos de π usando un programa de computadora o un recurso de Internet. Cree una secuencia de bits bn dejando bn = 1 si el n-ésimo dígito de π es impar y bn = 0 si el n-ésimo dígito de π es par. Calcule el valor promedio de bn y el valor promedio de dn = |bn + 1bn|, n = 1, …, 999. ¿La secuencia bn parece aleatoria? ¿Las diferencias entre los elementos sucesivos de bn parecen aleatorias?

1 comentario en “Sucesiones”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.