| 7. Sucesiones y series infinitas | 7.1 Sucesiones |

Límite de una secuencia

         Una pregunta fundamental que surge con respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que n aumenta. Dado que una secuencia es una función definida en los enteros positivos, tiene sentido discutir el límite de los términos cuando n → ∞. Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos cuando n → ∞ (consulte la Figura 5.1_2):

a. {1 + 3n} = {4, 7, 10, 13,…}. Los términos 1 + 3n se vuelven arbitrariamente grandes cuando n → ∞. En este caso, decimos que 1 + 3n → ∞ cuando n → ∞.

b. {1− (1/2)ⁿ} = {1/2, 3/4, 7/8, 15/16,…}. Los términos 1 − (1/2)ⁿ → 1 cuando n → ∞.

c. {(−1)ⁿ} = {−1, 1, −1, 1 ,…}. Los términos se alternan pero no se acercan a un solo valor cuando n → ∞.

d. {(−1)ⁿ/n} = {−1, 1/2, −1/3, 1/4, …}. Los términos también se alternan para esta secuencia, pero (−1)ⁿ/n → 0 cuando n → ∞.

A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades para el comportamiento de los términos de una secuencia cuando n → ∞. En dos de las sucesiones, los términos se acercan a un número finito cuando n → ∞. En las otras dos secuencias, los términos no se acercan a un número finito cuando n → ∞. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito L cuando n → ∞, decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real L es el límite de la secuencia. Podemos dar una definición informal aquí.

Definición 7.1.2. Límite de una sucesión (definición informal)

Dada una secuencia {an}, si los términos an se acercan arbitrariamente a un número finito L cuando n se vuelve lo suficientemente grande, decimos que {an} es una sucesión convergente y L es el límite de la sucesión. En este caso, escribimos limn → ∞ an = L. Si una secuencia {an} no es convergente, decimos que es una secuencia divergente.

 

En la figura 7.1_2 (b), vemos que los términos de la secuencia {1− (1/2)ⁿ} se acercan arbitrariamente a 1 a medida que n se vuelve muy grande. Concluimos que {1− (1/2)ⁿ} es una secuencia convergente y su límite es 1. En contraste, en la Figura 7.1_2 (a), vemos que los términos en la secuencia 1 + 3n no se acercan a un número finito cuando n se hace más grande. Decimos que {1 + 3n} es una secuencia divergente.

En la definición informal del límite de una secuencia, usamos los términos “arbitrariamente cerca” y “suficientemente grande”. Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, ahora presentamos la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en la Figura 7.1_3.

Definición 7.1.3. Límite de una sucesión (definición formal)

Una secuencia {an} converge a un número real L si para todo ε > 0, existe un entero N tal que | an − L | < ε  si  n ≥ N. El número L es el límite de la secuencia y escribimos limn → ∞ an = L  o  an → L. En este caso, decimos que la secuencia {an} es una secuencia convergente. Si una secuencia no converge, es una secuencia divergente y decimos que el límite no existe.

Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia {a_n} depende solo de lo que sucede con los términos a_n cuando n → ∞. Por lo tanto, si un número finito de términos b₁, b₂,…, b_N se colocan antes de a₁ para crear una nueva secuencia

b₁, b₂,…, b_N, a₁, a₂,…,

esta nueva secuencia convergerá si {a_n} converge y divergirá si {a_n} diverge. Además, si la secuencia {a_n} converge a L, esta nueva secuencia también convergerá a L.

Como se definió anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias {1 + 3n} y {(−1)ⁿ} que se muestran en la Figura 5.1_2 divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes formas. La secuencia {(−1)ⁿ} diverge porque los términos alternan entre 1 y −1, pero no se acercan a un valor cuando n → ∞. Por otro lado, la secuencia {1 + 3n} diverge porque los términos 1 + 3n → ∞ cuando n → ∞. Decimos que la secuencia {1 + 3n} diverge hasta el infinito y escribimos lim_{n → ∞} (1 + 3n) = ∞. Es importante reconocer que esta notación no implica que exista el límite de la secuencia {1 + 3n}. De hecho, la secuencia es divergente. Escribir que el límite es infinito solo tiene la intención de proporcionar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir hasta el infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia {−5n + 2} diverge al infinito negativo porque −5n + 2 → −∞ cuando n → ∞. Escribimos esto como lim_{n → ∞} (−5n + 2) =  −∞.

Debido a que una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de números enteros positivos, podemos usar las propiedades de los límites de funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, considere una secuencia {a_n} y una función relacionada f definida en todos los números reales positivos tal que f (n) = a_n para todos los enteros n ≥ 1. Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de f, si lim_{x → ∞}  f (x) existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, considere la secuencia {1/n} y la función relacionada f (x) = 1/x. Dado que la función f definida en todos los números reales x > 0 satisface f (x) = 1/x → 0 cuando x → ∞, la secuencia {1/n} debe satisfacer 1/n → 0 cuando n → ∞.

TEOREMA 7.1.1  Límite de una secuencia definida por una función

Considere una secuencia {an} tal que an = f (n) para todo n ≥ 1. Si existe un número real L tal que limx → ∞ f (x) = L, entonces {an} converge y limn → ∞ an = L.

 

Podemos usar este teorema para evaluar lim_{n → ∞} r ⁿ para 0 ≤ r ≤ 1. Por ejemplo, considere la secuencia {(1/2)ⁿ} y la función exponencial relacionada f (x) = (1/2)^x. Como lim_{x → ∞} (1/2)^x = 0, concluimos que la secuencia {(1/2)ⁿ} converge y su límite es 0. De manera similar, para cualquier número real r tal que 0 ≤ r <1, lim_{x → ∞} r ^x = 0, y por lo tanto la secuencia {r ⁿ} converge. Por otro lado, si r = 1, entonces lim_{x → ∞} r ^x = 1, y por lo tanto el límite de la secuencia {1ⁿ} es 1. Si r > 1, lim_{x → ∞} r ^x = ∞, y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, al igual que la función r ^x crece sin límite cuando n → ∞, los términos r ⁿ en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes cuando n → ∞, y concluimos que la secuencia {r ⁿ} diverge hasta el infinito si r > 1.

Resumimos estos resultados con respecto a la secuencia geométrica {r ⁿ}:

r ⁿ → 0  si  0 < r < 1
r ⁿ → 1  si  r = 1
r ⁿ → ∞  si  r > 1.

Más adelante en esta sección consideramos el caso cuando r < 0.

       Ahora consideramos secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, considere la secuencia {(2/3)ⁿ + (1/4)ⁿ}. Los términos en esta secuencia son más complicados que otras secuencias que hemos discutido, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias (2/3)ⁿ  y  (1/4)ⁿ. Como describimos en las siguientes leyes de límites algebraicos, dado que (2/3)ⁿ  y  (1/4)ⁿ ambos convergen a 0, la secuencia {(2/3)ⁿ + (1/4)ⁿ} converge a 0 + 0 = 0. Así como pudimos evaluar un límite que involucra una combinación algebraica de funciones f y g al observar los límites de f y g (ver Introducción a los límites), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de a_n y b_n evaluando los límites de {a_n} y {b_n}.

TEOREMA 7.1.2  Leyes de límites algebraicos

Dadas las secuencias {an} y {bn} y cualquier número real c, si existen constantes A y B tales que limn →∞ an = A  y  limn → ∞ bn = B, entonces limn → ∞ c = c limn → ∞ can = c limn → ∞ an = cA limn → ∞ (an ± bn) = limn → ∞ an ± limn → ∞ bn = A ± B limn → ∞ (an⋅bn) = (limn → ∞ an) ⋅ (limn → ∞ bn) = A⋅B limn → ∞ (an/bn) = limn → ∞ an limn → ∞ bn = A/B, siempre que B ≠ 0 y cada bn ≠ 0.

Prueba

Probamos la parte iii.

Sea ϵ > 0. Como lim_{n→ ∞} a_n = A, existe un entero positivo constante N₁ tal que ∣a_n − A∣ < ε / 2 para todos los n ≥ N₁.

Como lim_n→∞ b_n = B, existe una constante N₂ tal que | b_n − B | < ε / 2 para todos los n ≥ N₂. Sea N el mayor de N₁ y N₂.

Por lo tanto, para todos los n ≥ N, | (a_n + b_n) − (A + B) | ≤ | a_n − A | + | b_n − B | < ε / 2 + ε / 2 = ε.

---

       Las leyes algebraicas de límites nos permiten evaluar los límites de muchas sucesiones. Por ejemplo, considere la secuencia {1/n²}. Como se mostró anteriormente, lim_n→∞ 1/n = 0. Del mismo modo, para cualquier entero positivo k, podemos concluir queEn el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límites para evaluar los límites de otras secuencias.

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_3. Determinación de la convergencia y búsqueda de límites

Para cada una de las siguientes sucesiones, determine si la secuencia converge o no. Si converge, encuentre su límite.

 

Solución:
a. Sabemos que 1/n → 0. Usando este hecho, concluimos que

Por lo tanto,

La secuencia converge y su límite es 5.

b. Al factorizar n⁴ fuera del numerador y el denominador y usar las leyes de límites anteriores, tenemos

La secuencia converge y su límite es −3/4.

c. Considere la función relacionada f (x) = 2^x/x² definida en todos los números reales x > 0. Dado que 2^x → ∞  y  x² → ∞ cuando x → ∞, aplique la regla de L’Hôpital dos veces seguidas (derivando tanto el numerador como el denominador cada vez) y escriba

Concluimos que la secuencia diverge.

d. Considere la función f (x) = (1 + 4/x)^x definida en todos los números reales x > 0. Esta función tiene la forma indeterminada 1^∞ cuando x → ∞. Sea

Ahora tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, obtenemos

Como la función f (x) = lnx es continua en su dominio, podemos intercambiar el límite y el logaritmo natural. Por lo tanto,

Usando propiedades de logaritmos, escribimos

Como el lado derecho de esta ecuación tiene la forma indeterminada ∞⋅0, escríbala como una fracción para aplicar la regla de L’Hôpital. Escribimos

Como el lado derecho ahora está en forma indeterminada 0/0, podemos aplicar la regla de L’Hôpital. Concluimos que

Por lo tanto, ln(y) = 4 e y = e⁴. Por lo tanto, dado que lim_{x → ∞} (1 + 4/x)^x = e⁴, podemos concluir que la secuencia {(1 + 4/n)ⁿ} converge a e⁴.

 

Ejercicio de control 7.1_3

       Recuerde que si f es una función continua en un valor L, entonces f (x) → f (L) cuando x → L. Esta idea también se aplica a las sucesiones. Suponga  que una sucesión a_n → L, y que f es una función de valores reales continua en L, entonces f (a_n) → f (L). Esta propiedad a menudo nos permite encontrar límites para sucesiones complicadas.

Por ejemplo, considere la sucesión con fórmula para el término enésimo 

Como la sucesión  5 − 3/n² → 5 cuando n → ∞  y como √x  es una función continua en x = 5, entonces

 

Teorema 7.1.3.  Funciones continuas definidas en sucesiones convergentes

Considere una sucesión {an} y suponga que existe un número real L tal que la sucesión {an} converge a L. Suponga además que f  es una función continua en L. Entonces existe un número entero N  tal que f  está definida en todos los valores an  para n  ≥ N, y la sucesión {f (an)} converge a f (L)  (Figura 7.1_4).

(Figura 7.1_4  Debido a que f es una función continua y dado que las entradas a₁, a₂, a₃, … se acercan a L, las salidas f (a₁), f (a₂), f (a₃), … se acercan a f (L).)

---

Prueba

Sea ϵ > 0. Dado que f es continua en L, existe δ > 0 tal que | f (x) − f (L) | < ε si |x − L| < δ. Dado que la sucesión {a_n} converge a L, existe un N tal que |a_n − L| < δ  para todos los n ≥ N. Por lo tanto, para todos los n ≥ N, |a_n − L| < δ, lo que implica | f (a_n) − f (L) | < ε. Concluimos que la secuencia {f (a_n)} converge en f (L).

---

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_4. Límites que implican funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Determine si la secuencia {cos (3/n²)} converge. Si converge, encuentre su límite.

Solución:
Como la secuencia {3/n²} converge a 0 y cosx es continua en x = 0, podemos concluir que la secuencia {cos (3/n²)} converge y

Ejercicio de control 7.1_4

       Otro teorema que involucra límites de sucesiones es una extensión del Teorema de compresión para límites discutido en Introducción a los límites.

 

Teorema 7.1.4.  Teorema de compresión para secuencias

Considere las secuencias {an}, {bn} y {cn}. Suponga que existe un entero N tal que an ≤ bn ≤ cn  para todos los n ≥ N. Si existe un número real L tal que limn → ∞ an = L = limn → ∞ cn, entonces {bn} converge y limn → ∞ bn = L  (Figura 7.1_5).

Prueba

Sea  ε> 0. Dado que la secuencia {a_n} converge a L, existe un número entero N₁ tal que | a_n − L | < ε para todos los n ≥ N₁. De manera similar, dado que {c_n} converge a L, existe un número entero N₂ tal que | c_n − L | < ε para todos los n ≥ N₂. Por supuesto, existe un número entero N tal que a_n ≤ b_n ≤ c_n para todos los n ≥ N. Sea M el mayor de N₁, N₂ y N. Debemos demostrar que | b_n − L | < ε para todos los n ≥ M. Para todos los n ≥ M,

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_5. Usando el teorema de la compresión

Usa el teorema de la compresión para encontrar el límite de cada una de las siguientes secuencias.

a. {cosn/n²}
b. {(−1/2)n}

Solución:

a. Dado que −1 ≤ cosn ≤ 1 para todos los enteros n, tenemos

Dado que −1/n² → 0 y 1/n² → 0, concluimos que cosn/n² → 0 también.

b. Desde

para todos los enteros positivos n, −1/2ⁿ → 0  y  1/2ⁿ → 0, podemos concluir que (−1/2)ⁿ → 0.

Ejercicio de control 7.1_5

Encuentre lim_{n → ∞} (2n − senn)/n.

       Usando la idea del ejemplo 7.1_5 b. concluimos que r ⁿ → 0 para cualquier número real r tal que −1 < r < 0. Si r <−1, la secuencia {r ⁿ} diverge porque los términos oscilan y se vuelven arbitrariamente grandes en magnitud. Si r = −1, la secuencia {r ⁿ} = {(−1)ⁿ} diverge, como se discutió anteriormente. A continuación se muestra un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas.

r ⁿ → 0  si  | r | < 1
r ⁿ → 1  si  r = 1
r ⁿ → ∞  si  r > 1
{r ⁿ} diverge si  r ≤ − 1