7. Sucesiones y series infinitas            7.1 Sucesiones

Sucesiones acotadas

          Ahora dirigimos nuestra atención a uno de los teoremas más importantes que involucran sucesiones: el Teorema de la convergencia monótona. Antes de establecer el teorema, necesitamos introducir algo de terminología y motivación. Comenzamos definiendo lo que significa que una sucesión esté acotada.

 

Definición 7.1.4. Sucesión acotada

Una sucesión {an} se dice que está acotada  por arriba si existe un número real M  tal que

an ≤ M

para todos los enteros positivos n.

Una sucesión {an} se dice que está acotada  por abajo si existe un número real M  tal que

M an

para todos los enteros positivos n.

Una sucesión {an}  es una sucesión acotada si está acotada por arriba y acotada por abajo.

Si una secuencia no está acotada, se dice que es una sucesión no acotada.

Por ejemplo, la sucesión {1/n} está acotada superiormente porque 1/n ≤ 1 para todos los enteros positivos n. También se dice que está acotada inferiormente porque 1/n  ≥ 0 para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, {1 /n} es una sucesión acotada.

Por otro lado, considere la secuencia {2n}. Debido a que 2n  ≥ 2 para todos los n  ≥ 1, la sucesión está acotada inferiormente. Sin embargo, la sucesión no está acotada superiormente. Por lo tanto, {2n} es una sucesión no acotada.

 

        Ahora discutimos la relación entre la acotación y la convergencia. Supongamos que una sucesión {an} no está acotada. Entonces no está acotada por arriba, o no está acotada por abajo, o ambos. En cualquier caso, hay términos an que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que n se hace más grande. Como resultado, la sucesión {an} no puede converger. Por lo tanto, estar acotada es una condición necesaria para que una sucesión converja.

 

Teorema 7.1.5. Las sucesiones convergentes están acotadas

Si una secuencia {an} converge, entonces está acotada.

 

Tenga en cuenta que ser acotada no es una condición suficiente para que una sucesión converja.
Por ejemplo, la sucesión {(−1) n} está acotada, pero diverge porque oscila entre 1 y −1 y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una sucesión acotada converja.

Considere una sucesión acotada {an}. Supongamos que la sucesión {an} está creciendo. Es decir, a1a2a3  . . .  Como la sucesión está aumentando, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La sucesión podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, dado que la sucesión está acotada, está acotada superiormente y la sucesión no puede divergir hasta el infinito. Concluimos que {an} converge. Por ejemplo, considere la sucesión

Dado que esta sucesión está creciendo y está acotada superiormente, converge. Ahora, considere la sucesión

Aunque la sucesión no está creciendo para todos los valores de n, vemos que −1/2  < −1/3  < −1/4  < ⋯. Por lo tanto, comenzando con el octavo término, a8 = −1/2, la sucesión está creciendo. En este caso, decimos que la sucesión eventualmente crece. Como la sucesión está acotada superiormente, converge. También es cierto que si una sucesión está decreciendo (o eventualmente decrece) y acotada a continuación, también converge.

 

Definición 7.1.5. Sucesiones crecientes y decrecientes

Una secuencia {an} es creciente para todo nn0 si

anan + 1  para todo  nn0.

Una secuencia {an} es decreciente para todo nn0 si

anan + 1  para todos  nn0.

Una secuencia {an} es una secuencia monótona para todos los nn0 si crece para todos los nn0 o decrece para todos los nn0.

Ahora tenemos las definiciones necesarias para enunciar el Teorema de convergencia monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia.

Teorema 7.1.6. Teorema de convergencia monótona

Si {an} es una secuencia acotada y existe un entero positivo n0 tal que {an} es monótono para todos los nn0, entonces {an} converge.

La demostración de este teorema está más allá del alcance de este texto. En cambio, proporcionamos un gráfico para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido (figura 7.1_6).

Figura 7.1_6 Dado que la secuencia {an} es creciente y acotada arriba, debe converger.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el Teorema de convergencia monótono para demostrar la convergencia de una secuencia.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_6.  Uso del teorema de convergencia monótona

Para cada una de las siguientes secuencias, use el Teorema de convergencia monótona para mostrar que la secuencia converge y encuentra su límite.

a. {4n/n!}
b. {an} definido de forma recursiva de modo que

a1 = 2  y  an + 1 = an/2 + 1/2an para todos  n ≥ 2.

Solución:

Al escribir los primeros términos, vemos que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image.png

Al principio, los términos crecen. Sin embargo, después del tercer término, los términos decrecen. De hecho, los términos decrece para todos los n ≥ 3. Podemos mostrar esto de la siguiente manera.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-2.png

Por lo tanto, la secuencia es decreciente para todos los n ≥ 3. Además, la secuencia está acotada por abajo por 0 porque 4n/n! ≥ 0 para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, según el Teorema de convergencia monótono, la secuencia converge.

Para encontrar el límite, usamos el hecho de que la secuencia converge y sea L = limn → ∞ an. Ahora note esta importante observación. Considere limn → ∞ an + 1. Desde

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-3.png

la única diferencia entre las secuencias {an + 1} y {an} es que {an + 1} omite el primer término. Dado que un número finito de términos no afecta la convergencia de una secuencia,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-4.png

Combinando este hecho con la ecuación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-5.png

y tomando el límite de ambos lados de la ecuación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-6.png

podemos concluir que

L = 0⋅L = 0.

b. Escribiendo los primeros términos,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-7.png

podemos conjeturar que la sucesión es decreciente y está limitada por debajo por 1. Para mostrar que la sucesión está limitada por debajo por 1, podemos demostrar que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-8.png

Para mostrar esto, primero reescribe

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-9.png

Dado que a1 > 0 y a2 se define como una suma de términos positivos, a2 > 0. De manera similar, todos los términos an > 0. Por lo tanto,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-10.png

si y solo si

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-11.png

Reescribiendo la desigualdad an2 + 1 ≥ 2a  como  an2 − 2an + 1 ≥ 0, y usando el hecho de que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-12.png

debido a que el cuadrado de cualquier número real no es negativo, podemos concluir que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-13.png

Para mostrar que la secuencia es decreciente, debemos mostrar que an+1 ≤ an  para todo  n ≥ 1. Dado que 1 ≤ an2, se deduce que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-14.png

Dividiendo ambos lados por 2an, obtenemos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-15.png

Usando la definición de an + 1, llegamos a la conclusión de que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-16.png

Dado que {an} está delimitado por debajo y es decreciente, según el Teorema de convergencia monótono, converge.
Para encontrar el límite, sea L = limn → ∞ an. Luego, usando la relación de recurrencia y el hecho de que limn → ∞ an = limn → ∞ an + 1, tenemos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-17.png

y por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-18.png

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por 2L, llegamos a la ecuación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-19.png

Resolviendo esta ecuación para L, llegamos a la conclusión de que L2 = 1, lo que implica L = ± 1. Dado que todos los términos son
positivo, el límite L = 1.

 

Ejercicio de control 7.1_6

Considere la secuencia {an} definida recursivamente tal que a1 = 1, an = an − 1/2. Utilice el Teorema de convergencia monótona para demostrar que esta secuencia converge y encuentra su límite.

1 comentario en “Sucesiones”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.