| Álgebra lineal con aplicaciones | 1. Sistema de ecuaciones lineales) |
Ejercicios resueltos de álgebra lineal (Grossman)
1.1 Soluciones y operaciones elementales
Los problemas prácticos en muchos campos de estudio, como biología, negocios, química, informática, economía, electrónica, ingeniería, física y ciencias sociales, a menudo pueden reducirse a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. El álgebra lineal surgió de los intentos de encontrar métodos meticulosos para resolver estos sistemas, por lo que es natural comenzar este libro estudiando ecuaciones lineales.
Si a, b y c son números reales, la gráfica de una ecuación de la forma
es una línea recta (si a y b no son ambos cero), por lo que dicha ecuación se llama ecuación lineal en las variables x e y. Sin embargo, a menudo es conveniente escribir las variables como x1, x2, …, xn, particularmente cuando hay más de dos variables involucradas. Una ecuación de la forma.
se llama ecuación lineal en las n variables x1, x2, …, xn. Aquí a1, a2, …, denotan números reales (llamados los coeficientes de x1, x2, …, xn, respectivamente) y b también es un número (llamado término constante de la ecuación). Una colección finita de ecuaciones lineales en las variables x1, x2, …, xn se denomina sistema de ecuaciones lineales en estas variables. Por ejemplo,
es una ecuación lineal; los coeficientes de x1, x2 y x3 son 2, −3 y 5, y el término constante es 7. Tenga en cuenta que cada variable en una ecuación lineal ocurre solo a la primera potencia.
Dada una ecuación lineal a1x1 + a2x2 + ··· + an = b, un conjunto s1, s2, …, sn de n números se llama una solución a la ecuación si
es decir, si la ecuación se satisface cuando se realizan las sustituciones x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Un conjunto de números se llama solución a un sistema de ecuaciones si es una solución a cada ecuación en el sistema.
Por ejemplo, x = −2, y = 5, z = 0 y x = 0, y = 4, z = −1 son soluciones para el sistema
Un sistema puede no tener alguna solución, o puede tener una solución única, o puede tener una familia infinita de soluciones Por ejemplo, el sistema x + y = 2, x + y = 3 no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser 2 y 3 simultáneamente. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente; un sistema con al menos una solución se llama consistente. El sistema en el siguiente ejemplo tiene infinitas soluciones.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.1_1.
Demuestre que, para valores arbitrarios de s y t
es una solución al sistema
Solución:
Simplemente sustituya estos valores de x1, x2, x3 y x4 en cada ecuación.
Debido a que ambas ecuaciones están satisfechas, es una solución para todas las elecciones de s y t. ◊
Las cantidades s y t del ejemplo 1.1_1 se denominan parámetros y el conjunto de soluciones, que se describe de esta manera, se dice que se da en forma paramétrica y se llama la solución general del sistema.
Resulta que las soluciones a cada sistema de ecuaciones (si hay soluciones) se pueden dar en forma paramétrica (es decir, las variables x1, x2, … se dan en términos de nuevas variables independientes s, t, etc.). El siguiente ejemplo muestra cómo sucede esto en los sistemas más simples donde solo hay una ecuación presente.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.1_2.
Describa todas las soluciones para 3x − y + 2z = 6 en forma paramétrica.
Solución:
Resolviendo la ecuación para y en términos de x y z, obtenemos y = 3x + 2z − 6. Si s y t son arbitrarias, estableciendo x = s, z = t, obtenemos las soluciones
con las variables s y t arbitrarias.
Por supuesto, podríamos haber resuelto x: x = (y − 2z + 6)/3. Entonces, si tomamos y = p, z = q, las soluciones se representan de la siguiente manera:
con las variables p y q arbitrarias.
¡La misma familia de soluciones puede “verse” bastante diferente! ◊
(x = 2, y = 1)
(x = t, y = 3t −4)
Figura 1.1_1
Cuando sólo intervienen dos variables, las soluciones a los sistemas de ecuaciones lineales se pueden describir geométricamente porque la gráfica de una ecuación lineal ax + by = c es una línea recta si a y b no son ambos cero.
Además, un punto P(s, t) con coordenadas s y t se encuentra en la recta si y solo si as + bt = c, es decir, cuando x = s, y = t es una solución a la ecuación. Por lo tanto, las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales corresponden a los puntos P(s, t) que se encuentran en todas las rectas en cuestión.
En particular, si el sistema consta de una sola ecuación, debe haber infinitas soluciones porque hay infinitos puntos en una línea recta. Si el sistema tiene dos ecuaciones, hay tres posibilidades para las líneas rectas correspondientes:
1. Las rectas se cruzan en un solo punto. Entonces el sistema tiene una solución única correspondiente a ese punto.
2. Las rectas son paralelas (y distintas) y, por lo tanto, no se cruzan. Entonces el sistema no tiene solución.
3. Las rectas son idénticas. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones, una para cada punto en la recta (común).
Estas tres situaciones se ilustran en la figura 1.1_1. En cada caso, se trazan las gráficas de dos rectas específicas y se indican las ecuaciones correspondientes. En el último caso, las ecuaciones son 3x − y = 4 y −6x + 2y = −8, que tienen gráficas idénticas.
Con tres variables, se puede mostrar que la gráfica de una ecuación ax + by + cz = d es un plano (consulte la Sección 4.2) y, por lo tanto, nuevamente proporciona una “imagen” del conjunto de soluciones. Sin embargo, este método gráfico tiene sus limitaciones:
Cuando hay más de tres variables involucradas, no es posible una imagen física de las gráficas (llamadas hiperplanos). Es necesario recurrir a un método de solución más “algebraico”.
Antes de describir el método, presentamos un concepto que simplifica los cálculos involucrados. Considere el siguiente sistema
de tres ecuaciones en cuatro variables. El conjunto de números
que ocurre en el sistema se llama matriz aumentada del sistema. Cada fila de la matriz consiste en los coeficientes de las variables (en orden) de la ecuación correspondiente, junto con el término constante. Para mayor claridad, las constantes están separadas por una línea vertical. La matriz aumentada es solo una forma diferente de describir el sistema de ecuaciones. El conjunto de coeficientes de las variables.
se llama matriz de coeficientes del sistema y
se llama la matriz de constantes del sistema.
(Nota: Una arreglo rectangular de números se llama matriz. Las matrices se discutirán con más detalle en el Capítulo 2.)