Álgebra lineal con aplicaciones

(1. Sistema de ecuaciones lineales)

Operaciones elementales

El método algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales se describe a continuación. Se dice que dos de estos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Un sistema se resuelve escribiendo una serie de sistemas, uno tras otro, cada uno equivalente al sistema anterior. Cada uno de estos sistemas tiene el mismo conjunto de soluciones que el original; el objetivo es terminar con un sistema que sea fácil de resolver. Cada sistema de la serie se obtiene del sistema anterior mediante una simple manipulación elegida para que no cambie el conjunto de soluciones.

Como ilustración, resolvemos el sistema x + 2y = −2, 2x + y = 7 de esta manera. En cada etapa, se muestra la matriz aumentada correspondiente. El sistema original es

Primero, resta dos veces la primera ecuación de la segunda. El sistema resultante es

que es equivalente al original (ver Teorema 1.1.1). En esta etapa obtenemos y = −11/3 multiplicando la segunda ecuación por −1/3. El resultado es el sistema equivalente

Finalmente, restamos dos veces la segunda ecuación de la primera para obtener otro sistema equivalente

¡Ahora este sistema es fácil de resolver! Y debido a que es equivalente al sistema original, proporciona la solución a ese sistema.

Observe que, en cada etapa, se realiza una determinada operación en el sistema (y, por lo tanto, en la matriz aumentada) para producir un sistema equivalente.

Definición 1.1.1 Operaciones elementales

Las siguientes operaciones, llamadas operaciones elementales, pueden realizarse rutinariamente en sistemas de ecuaciones lineales para producir sistemas equivalentes Intercambie dos ecuaciones. Multiplique una ecuación por un número distinto de cero. Agregue un múltiplo constante de una ecuación a una ecuación diferente.

Teorema 1.1.1

Suponga que se realiza una secuencia de operaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales. Entonces, el sistema resultante tiene el mismo conjunto de soluciones que el original, por lo que los dos sistemas son equivalentes.

La prueba se da al final de esta sección.

       Las operaciones elementales realizadas en un sistema de ecuaciones producen las manipulaciones correspondientes de las filas de la matriz aumentada. Por lo tanto, multiplicar una fila de una matriz por un número k significa multiplicar cada entrada de la fila por k. Agregar una fila a otra fila significa agregar cada entrada de esa fila a la entrada correspondiente de la otra fila. Restar dos filas se hace de manera similar. Tenga en cuenta que consideramos dos filas como iguales cuando las entradas correspondientes son iguales.
En los cálculos manuales (y en programas de computadora) manipulamos las filas de la matriz aumentada en lugar de las ecuaciones. Por esta razón, reformulamos estas operaciones elementales para matrices.

Definición 1.1.2 Operaciones elementales de fila (renglón)

Las siguientes se denominan operaciones elementales de fila en una matriz  Intercambie dos filas. Multiplica una fila por un número distinto de cero. Agregue un múltiplo de una fila a una fila diferente

En el ejemplo anterior, una serie de tales operaciones condujo a una matriz de la forma

donde los asteriscos representan números arbitrarios. En el caso de tres ecuaciones en tres variables, el objetivo es producir una matriz de la forma

Esto no siempre sucede, como veremos en la siguiente sección. Aquí hay un ejemplo en el que sucede.

Ejemplo ilustrativo 1.1_3

Encuentre todas las soluciones para el siguiente sistema de ecuaciones.

Solución:
La matriz aumentada del sistema original es

Para crear un 1 en la esquina superior izquierda, podríamos multiplicar la fila 1 por 1/3. Sin embargo, el 1 se puede obtener sin introducir fracciones restando la fila 2 de la fila 1. El resultado es

El 1 de la parte superior izquierda ahora se usa para “limpiar” la primera columna, es decir, crear ceros en las otras posiciones de esa columna. Primero reste 2 veces la fila 1 de la fila 2 para obtener

Luego reste 4 veces la fila 1 de la fila 3. El resultado es

Esto completa el trabajo en la columna 1. Ahora usamos el 1 en la segunda posición de la segunda fila para limpiar la segunda columna restando la fila 2 de la fila 1 y luego sumando la fila 2 a la fila 3.
Por conveniencia, ambas operaciones de fila se realizan en un solo paso. El resultado es

Tenga en cuenta que las dos últimas manipulaciones no afectaron a la primera columna (la segunda fila tiene un cero allí), por lo que nuestro esfuerzo anterior no se ha visto afectado. Finalmente limpiamos la tercera columna. Comience multiplicando la fila 3 por −1/7 para obtener

Ahora resta 3 veces la fila 3 de la fila 1, y luego suma 2 veces la fila 3 a la fila 2 para obtener

Las ecuaciones correspondientes son x = −3/7, y = 2/7, y z = 8/7, que dan la solución (única). ◊

       Cada operación elemental de fila puede ser revertida por otra operación de fila elemental del mismo tipo (llamada inversa). Para ver cómo, observemos los tipos I, II y III por separado:

Tipo I     Intercambiar dos filas se invierte intercambiándolas nuevamente.

Tipo II   Multiplicar una fila por un número distinto de cero k se invierte multiplicando por 1/k

Tipo III  Agregar k veces la fila p a una fila diferente q se invierte agregando −k veces la fila p a la fila q (en la nueva matriz). Tenga en cuenta que p ≠ q es esencial aquí.

Para ilustrar la situación de Tipo III, suponga que hay cuatro filas en la matriz original, denotadas R₁, R₂, R₃ y R₄, y que k veces R₂ se agrega a R₃. Luego, la operación inversa agrega −k veces R₂, a R₃. El siguiente diagrama ilustra el efecto de hacer la operación primero y luego a la inversa:

La existencia de inversas para operaciones elementales de fila y, por lo tanto, para operaciones elementales en un sistema de ecuaciones, da los argumentos para la:

Prueba del teorema 1.1.1. Suponga que un sistema de ecuaciones lineales se transforma en un nuevo sistema mediante una secuencia de operaciones elementales. Entonces, cada solución del sistema original es automáticamente una solución del nuevo sistema porque agregar ecuaciones, o multiplicar una ecuación por un número distinto de cero, siempre da como resultado una ecuación válida. De la misma manera, cada solución del nuevo sistema debe ser una solución para el sistema original porque el sistema original puede obtenerse del nuevo mediante otra serie de operaciones elementales (las inversas de los originales). Se deduce que los sistemas originales y nuevos tienen las mismas soluciones. Esto prueba el teorema 1.1.1. ◊