Matrices Inversas

    Tres operaciones básicas sobre matrices, suma, multiplicación y resta, son análogos para matrices de las mismas operaciones para números. En esta sección presentamos el análogo de matriz de división numérica.

Para comenzar, considere cómo se resuelve una ecuación numérica ax = b cuando a y b son números conocidos. Si a = 0, no hay solución (a menos que b = 0). Pero si a ≠ 0, podemos multiplicar ambos lados por el inverso a⁻¹ = 1/a para obtener la solución x = a⁻¹b. Por supuesto, multiplicar por a⁻¹ es solo dividir por a, y la propiedad de a⁻¹ que hace que esto funcione es que a⁻¹a = 1. Además, vimos en la Sección 2.2 que el papel que juega 1 en la aritmética se juega en álgebra matricial por la matriz de identidad I. Esto sugiere la siguiente definición.

Definición 2.4.1 Matrices Inversas

Si A es una matriz cuadrada, una matriz B se llama inversa de A si y sólo si

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Una matriz A que tiene una inversa se llama matriz invertible.

Nota:

Solo las matrices cuadradas tienen inversas. Aunque es plausible que las matrices no cuadradas A y B puedan existir de manera tal que AB = Im y BA = In, donde A es una matriz de tamaño m×n y B una de n×m, afirmamos que esto fuerza a que n = m. De hecho, si m < n existe una columna x distinta de cero tal que Ax = 0 (según el Teorema 1.3.1), entonces x = Inx = (BA)x = B(Ax) = B(0) = 0, una contradicción. Por lo tanto, m n. Del mismo modo, la condición AB = Im implica que nm. Por lo tanto, m = n, entonces A es una matriz cuadrada.

Ejemplo ilustrativo 2.4_1

Muestre que

es una inversa de 

Solución:

Calcule AB y BA,

Por lo tanto, AB = I = BA, entonces B es de hecho una inversa de A. ◊

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