Integración numérica

(5. LA INTEGRAL Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN)

(5.13 Integración numérica)

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos áreas de regiones bajo curvas usando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes por partes. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva usando funciones lineales por partes. ¿Qué pasaría si, en cambio, tuviéramos que aproximar una curva usando funciones cuadráticas por partes? Con la regla de Simpson, hacemos precisamente esto. Dividimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de igual ancho. Sobre el primer par de subintervalos aproximamos

con

donde p(x) = Ax² + Bx + C es la función cuadrática que pasa por (x₀, f (x₀)), (x₁, f (x₁)) y (x₂, f (x₂)) (Figura 5.13_4).

Sobre el siguiente par de subintervalos aproximamos

con la integral de otra función cuadrática pasando por (x₂, f (x₂)), (x₃, f (x₃)) y (x₄, f (x₄)). Este proceso continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

(Figura 5.13_4 Con la regla de Simpson, aproximamos una integral definida integrando una función cuadrática por partes.)

Para comprender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, comenzamos por deducir una fórmula para esta aproximación en los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la deducción, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

x₂ − x₀ = 2Δx, donde Δx es la longitud de un subintervalo.

x₂ + x₀ = 2x₁, ya que x₁ = (x₂ + x₀)/2.

Así,

Si aproximamos

usando el mismo método, obtenemos

Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos

El patrón continúa a medida que agregamos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede establecerse de la siguiente manera.

TEOREMA 5.13_4. Regla de Simpson

Suponga que f (x) es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]. Sea n un entero par positivo y Δx = (ba)/n. Se divide [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud Δx, con puntos finales en P = {x₀, x₁, x₂,…, xn}. Ya que

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EntoncesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-127.png

    Así como la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson se puede obtener a partir de las reglas del punto medio y trapezoidal usando un promedio ponderado. Se puede demostrar que S2n = (2/3)Mn + (1/3)Tn.

También es posible poner un límite al error cuando se usa la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite en el error viene dado por la siguiente regla:

REGLA: ERROR conexo A LA REGLA DE SIMPSON

Sea f (x) una función continua sobre [a, b] que tiene una cuarta derivada,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-128.pngdurante este intervalo. Si M es el valor máximo deEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-129.pngsobre [a, b], entonces el límite superior del error al usar Sn para estimarEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-130.pngestá dado porEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-131.png

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_7. Aplicación de la regla de Simpson_1

Utilice S₂ para aproximar

Estime un límite para el error en S₂.

Solución:

Dado que [0, 1] se divide en dos intervalos, cada subintervalo tiene una longitud Δx = (1− 0)/2 = 1/2. Los puntos finales de estos subintervalos son {0, 1/2, 1}. Si establecemos f (x) = x³, entonces

Dado que f ⁽⁴⁾(x) = 0 y consecuentemente M = 0, vemos que

Este límite indica que el valor obtenido mediante la regla de Simpson es exacto. Una revisión rápida verificará que, de hecho,

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_8. Aplicación de la regla de Simpson_2

Utilice S₆ para estimar la longitud de la curva y = (1/2)x² sobre [1, 4].

Solución:
La longitud de y = (1/2)x² sobre [1, 4] es

Si dividimos [1, 4] en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud Δx = (4 − 1)/6 = 1/2, y los puntos finales de los subintervalos son {1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}. Configurando f (x) = √(1 + x²),

Después de sustituir, obtenemos

Ejercicio de control 5.13_5

Utilice S₂ para estimar

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