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Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una ecuación que involucra funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θ para los cuales se definen las funciones. Podemos usar las identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. Las principales identidades trigonométricas se enumeran a continuación.

REGLA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades recíprocas

Identidades pitagóricas

Fórmulas de suma y resta

Fórmulas del ángulo doble

Ejemplo ilustrativo 1.3_4 Resolviendo Ecuaciones Trigonométricas

Para cada una de las siguientes ecuaciones, use una identidad trigonométrica para encontrar todas las soluciones.
a.  1 + cos(2θ) = cosθ
b.  sen (2θ) = tanθ

Solución:
a.  Usando la fórmula de doble ángulo para cos (2θ), vemos que θ es una solución de

1 + cos (2θ) = cosθ

si y sólo si

1 + 2cos²θ − 1 = cosθ,

lo cual es cierto si y sólo si

2cos²θ − cosθ = 0.

Para resolver esta ecuación, es importante tener en cuenta que necesitamos factorizar el lado izquierdo y no dividir ambos lados de la ecuación por cosθ. El problema con dividir por cosθ es que es posible que cosθ sea cero. De hecho, si dividieramos ambos lados de la ecuación por cosθ, perderíamos algunas de las soluciones de la ecuación original. Al factorizar el lado izquierdo de la ecuación, vemos que θ es una solución de esta ecuación si y sólo si

cosθ (2cosθ − 1) = 0.

Yaque cosθ = 0 cuando

y cosθ = 1/2 cuando

Concluimos que el conjunto de soluciones a esta ecuación es

y

Usando la fórmula de doble ángulo para sen(2θ) y la identidad recíproca para tan(θ), la ecuación se puede escribir como

Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por cosθ para eliminar el denominador, y observamos que si θ satisface esta ecuación, entonces θ satisface la ecuación

Sin embargo, debemos tener un poco de cuidado aquí. Incluso si θ satisface esta nueva ecuación, es posible que no satisfaga la ecuación original porque, para satisfacer la ecuación original, tendríamos que poder dividir ambos lados de la ecuación por cosθ. Sin embargo, si cosθ = 0, no podemos dividir ambos lados de la ecuación por cosθ. Por lo tanto, es posible que lleguemos a soluciones extrañas. Entonces, al final, es importante verificar las soluciones extrañas. Volviendo a la ecuación, es importante que factoricemos senθ de ambos términos en el lado izquierdo en lugar de dividir ambos lados de la ecuación por senθ. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, podemos reescribir esta ecuación como

senθ(2cos²θ − 1) = 0.

Por lo tanto, las soluciones están dadas por los ángulos θ de modo que senθ = 0 o cos2θ = 1/2. Las soluciones de la primera ecuación son θ = 0, ± π, ± 2π,…. Las soluciones de la segunda ecuación son θ = π/4, (π/4) ± (π/2), (π/4) ± π,…. Después de comprobar soluciones extrañas, el conjunto de soluciones para la ecuación es

EJERCICIO DE CONTROL 1.3_4

Encuentre todas las soluciones a la ecuación cos(2θ) = senθ.

Ejemplo ilustrativo 1.3_5 Probar una identidad trigonométrica

Probar la identidad trigonométrica 1 + tan²θ = sec²θ.

Solución:
Comenzamos con la identidad.

sen²θ + cos²θ = 1.

Dividiendo ambos lados de esta ecuación por cos²θ, obtenemos

Como senθ/cosθ = tanθ y 1/cosθ = secθ, concluimos que

tan²θ + 1 = sec²θ. ◊

EJERCICIO DE CONTROL 1.3_5

Demuestre la identidad trigonométrica 1 + cot²θ = csc²θ.