Funciones trigonométricas

(FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS)

Las seis funciones trigonométricas básicas

Las funciones trigonométricas nos permiten usar medidas de ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo, no solo en un círculo unitario, o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Para definir las funciones trigonométricas, primero consideremos el círculo unitario centrado en el origen y un punto P = (x, y) en el círculo unitario. Sea θ un ángulo con su lado inicial sobre el eje x positivo y con su lado terminal el segmento de recta OP. Se dice que el ángulo θ está en la posición estándar (Figura 1.3_2). Ahora podemos definir los valores de las seis funciones trigonométricas para θ en términos de las coordenadas x e y.

Figura 1.3_2 El ángulo θ está en posición estándar. Los valores de las funciones trigonométricas para θ se definen en términos de las coordenadas x e y.

DEFINICIÓN Funciones trigonométricas

Sea P = (x, y) un punto en el círculo unitario centrado en el origen O. Sea θ un ángulo con su lado inicial a lo largo del eje x positivo y su lado terminal dado por el segmento de recta OP. Las seis funciones trigonométricas se definen como

Si x = 0, secθ y tanθ no están definidos. Si y = 0, entonces cotθ y cscθ no están definidos.

Podemos ver que para un punto P = (x, y) en un círculo de radio r con un ángulo correspondiente θ, las coordenadas x e y satisfacen

Los valores de las otras funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de x, y, y r (Figura 1.3_3).

Figura 1.3_3   Para un punto P = (x, y) en un círculo de radio r, las coordenadas x e y satisfacen x = rcosθ  e  y = rsenθ.

La tabla 1.3_2   muestra los valores de seno y coseno en los ángulos principales en el primer cuadrante. A partir de esta tabla, podemos determinar los valores de seno y coseno en los ángulos correspondientes en los otros cuadrantes. Los valores de las otras funciones trigonométricas se calculan fácilmente a partir de los valores de senθ y cosθ.

θ senθ cosθ
0 0 1
π/6 1/2 √3/2
π/4 √2/2 √2/2
π/3 √3/2 1/2
π/2 1 0

Tabla 1.3_3  Valores de senθ y cosθ en ángulos θ en el primer cuadrante.

Ejemplo ilustrativo 1.3_2 Evaluación de funciones trigonométricas

Evalúa cada una de las siguientes expresiones.

Solución:

a.  En el círculo unitario, el ángulo θ = 2π/3 corresponde al punto (−1/2, √3/2). Por lo tanto, sen(2π/3) = y = √3/2.

b.  Un ángulo θ = −5π/6 corresponde a una revolución en la dirección negativa, como se muestra. Por lo tanto, cos(−5π/6) = x = −3√/2.

c.  Un ángulo θ = 15π/4 = 2π + 7π/4. Por lo tanto, este ángulo corresponde a más de una revolución, como se muestra. Conociendo el hecho de que un ángulo de 7π/4 corresponde al punto (√2/2, −√2/2), podemos concluir que tan(15π/4) = y/x = −1.

EJERCICIO DE CONTROL 1.3_2

Evalúe cos(3π/4) y sen(−π/6).

Las seis funciones trigonométricas como las razones de los lados de un triángulo rectángulo

Como se mencionó anteriormente, las relaciones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en cualquiera de los ángulos agudos del triángulo. Sea θ uno de los ángulos agudos. Sea A la longitud del cateto adyacente al ángulo θ, sea O la longitud del cateto opuesto al ángulo θ  y sea H la longitud de la hipotenusa. Al inscribir el triángulo en un círculo de radio H, como se muestra en la figura 1.3-4, vemos que A, H y O satisfacen las siguientes relaciones con el ángulo θ:

Figura 1.3_4  Al inscribir un triángulo rectángulo en un círculo, podemos expresar las razones de las longitudes de los lados en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ.

Ejemplo ilustrativo 1.3_3 Construyendo una rampa de madera

Se construirá una rampa de madera con un extremo en el suelo y el otro extremo en la parte superior de una escalera corta. Si la parte superior de la escalera está a 4 pies del suelo y el ángulo entre el suelo y la rampa debe ser de 10°, ¿qué longitud debe tener la rampa?

Solución:
Sea x la longitud de la rampa, en pies. En la siguiente imagen, vemos que x necesita satisfacer la ecuación sen(10°) = 4/x. Al resolver esta ecuación para x, vemos que x = 4/sen (10°) ≈ 23.035 pies.

EJERCICIO DE CONTROL 1.3_3

Un pintor de casas quiere apoyar una escalera de 20 pies contra una casa. Si el ángulo entre la base de la escalera y el suelo debe ser de 60°, ¿a qué distancia de la casa debe colocar la base de la escalera?

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