Álgebra lineal con aplicaciones
| 1. Sistema de ecuaciones lineales | Ejercicios propuestos para el Capítulo 1.6 |
1.6 Una aplicación a las reacciones químicas
Cuando tiene lugar una reacción química, varias moléculas se combinan para producir nuevas moléculas. Por lo tanto, cuando las moléculas de hidrógeno H2 y oxígeno O2 se combinan, el resultado es agua H2O. Expresamos esto como
H2 + O2 → H2O
Los átomos individuales no se crean ni se destruyen, por lo que el número de átomos de hidrógeno y oxígeno que entran en la reacción debe ser igual al número que sale (en forma de agua). En este caso, se dice que la reacción está equilibrada. Tenga en cuenta que cada molécula de hidrógeno H2 consta de dos átomos al igual que cada molécula de oxígeno O2, mientras que una molécula de agua H2O consta de dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno. En la reacción anterior, esto requiere que entren en la reacción el doble de moléculas de hidrógeno; lo expresamos de la siguiente manera:
2H2 + O2 → 2H2O
Esto ahora está equilibrado porque hay 4 átomos de hidrógeno y 2 átomos de oxígeno en cada lado de la reacción.
Ejemplo ilustrativo 1.6_1
Equilibre la siguiente reacción para quemar octano C8H18 en oxígeno O2:
C8H18 + O2 → CO2 + H2O
donde CO2 representa dióxido de carbono. Debemos encontrar enteros positivos x, y, z y w tales que
xC8H18 + yO2 → zCO2 + wH2O
Al igualar el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxígeno en cada lado, se obtiene 8x = z, 18x = 2w y 2y = 2z + w, respectivamente. Estos se pueden escribir como un sistema lineal homogéneo
que puede resolverse mediante eliminación gaussiana. En sistemas más grandes esto es necesario pero, en una situación tan simple, es más fácil de resolver directamente. Establezca w = t, de modo que x = (1/9)t, z = (8/9)t, 2y = (16/9)t + t = (25/9)t. Pero x, y, z y w deben ser números enteros positivos, por lo que el valor más pequeño de t que elimina fracciones es 18. Por lo tanto, x = 2, y = 25, z = 16 y w = 18, y la reacción balanceada es
2C8H18 + 25O2 → 16CO2 + 18H2O
El lector puede verificar que esto está realmente equilibrado. ◊
Cabe señalar que este problema introduce un nuevo elemento en la teoría de las ecuaciones lineales: la insistencia en que la solución debe constar de números enteros positivos.
Ejercicios propuestos para el Capítulo 1.6
En cada caso, equilibre la reacción química dada.
1. CH4 + O2 → CO2 + H2O. Esta es la quema de metano CH4.
2. NH3 + CuO → N2 + Cu + H2O. Aquí NH3 es amoníaco, CuO es óxido de cobre, Cu es cobre y N2 es nitrógeno.
3. CO2 + H2O → C6H12O6 + O2. Esto se llama reacción de fotosíntesis: C6H12O6 + O2 es glucosa.
4. Pb(N3)2 + Cr(MnO4)2 → Cr2O3 + MnO2 + Pb3O4 + NO.