| 2. Límites y continuidad |

2.1. Una vista previa del cálculo: Objetivos de aprendizaje

2.1.1. Describir el problema de la tangente y cómo condujo a la idea de la derivada.
2.1.2. Explicar cómo la idea de un límite está involucrada en la resolución del problema de la tangente.
2.1.3. Reconocer una tangente a una curva en un punto como el límite de las rectas secantes.
2.1.4. Identificar la velocidad instantánea como el límite de la velocidad promedio durante un pequeño intervalo de tiempo.
2.1.5. Describir el problema del área y cómo fue resuelto por la integral.
2.1.6. Explicar cómo la idea de un límite está involucrada en la resolución del problema del área.
2.1.7. Reconocer cómo las ideas de límite, derivada e integral condujeron a los estudios de series infinitas y cálculo multivariable.

    A medida que nos embarquemos en nuestro estudio del cálculo, veremos cómo surgió su desarrollo a partir de soluciones comunes a problemas prácticos. Dos problemas clave condujeron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva.

El problema de la tangente y el cálculo diferencial

La razón o tasa de cambio es uno de los conceptos más críticos en el cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando las gráficas de las tres rectas f (x) = −2x − 3, g(x) = x/2 + 1 y h(x) = 2, que se muestran en la Figura 2.1_1.

A medida que avanzamos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica de f (x) = −2x − 3, vemos que la gráfica disminuye a una tasa constante. Por cada 1 unidad que nos movemos hacia la derecha a lo largo del eje x, la coordenada y disminuye en 2 unidades. Esta tasa de cambio está determinada por la pendiente (−2) de la recta. De manera similar, la pendiente de 1/2 en la función g (x) nos dice que por cada cambio en x de 1 unidad hay un cambio correspondiente en y de 1/2 unidad. La función h (x) = 2 tiene una pendiente de cero, lo que indica que los valores de la función permanecen constantes. Vemos que la pendiente de cada función lineal indica la tasa de cambio de la función.

Compare las gráficas de estas tres funciones con la gráfica de k (x) = x² (Figura 2.1_2). La gráfica de k (x) = x² comienza desde la izquierda disminuyendo rápidamente, luego comienza a disminuir más lentamente y se nivela, y finalmente comienza a aumentar, lentamente al principio, seguido de una tasa creciente de aumento a medida que avanza hacia la derecha. A diferencia de una función lineal, ningún número individual representa la tasa de cambio de esta función. Naturalmente preguntamos: ¿Cómo medimos la tasa de cambio de una función no lineal?

Podemos aproximar la tasa de cambio de una función f (x) en un punto (a, f (a)) en su gráfica tomando otro punto (x, f (x)) en la gráfica de f (x), dibujando una recta a través de los dos puntos y calculando la pendiente de la recta resultante. Tal recta se llama recta secante. La figura 2.1_3 muestra una recta secante a una función f (x) en un punto (a, f (a))

Figura 2.1_3  La pendiente de una recta secante a través de un punto (a, f (a)) estima la tasa de cambio de la función en el punto (a, f (a)).

Definimos formalmente una recta secante de la siguiente manera:

Definición 2.1.1. Recta secante La secante de la función f (x) a través de los puntos (a, f (a)) y (x, f (x)) es la recta que pasa por estos puntos. Su pendiente está dada por

La precisión de la aproximación de la tasa de cambio de la función con una recta secante depende de qué tan cerca esté x de a. Como vemos en la Figura 2.1_4, si x está más cerca de a, la pendiente de la recta secante es una mejor medida de la tasa de cambio de f (x) en a.

Las rectas secantes se aproximan a una recta que se llama tangente a la función f (x) en a (Figura 2.1_5). La pendiente de la recta tangente a la gráfica en a mide la tasa de cambio de la función en a. Este valor también representa la derivada de la función f (x) en a, o la tasa de cambio de la función en a. Esta derivada se denota por f ′(a). El cálculo diferencial es el campo del cálculo relacionado con el estudio de derivadas y sus aplicaciones.

El ejemplo 2.1_1 ilustra cómo encontrar pendientes de rectas secantes. Estas pendientes estiman la pendiente de la recta tangente o, de manera equivalente, la tasa de cambio de la función en el punto en el que se calculan las pendientes.

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.1_1. Encontrar pendientes de rectas secantes

Estime la pendiente de la recta tangente (tasa de cambio) a f (x) = x² en x = 1 al encontrar pendientes de rectas secantes a través de (1, 1) y cada uno de los siguientes puntos en la gráfica de f (x) = x².
a. (2, 4)
b. (3/2, 9/4)

Solución:
Usa la fórmula para la pendiente de una recta secante dada en la definición.

El punto en la parte b. está más cerca del punto (1, 1), por lo que el valor de la pendiente de 2.5 está más cerca del valor de la pendiente de la recta tangente. Una buena estimación del valor de la pendiente de la tangente estaría en el rango de 2 a 2.5 (Figura 2.1_6).

Ejercicio de control 2.1_1

Estime la pendiente de la recta tangente (tasa de cambio) a f (x) = x² en x = 1 al encontrar las pendientes de las rectas secantes a través de (1, 1) y el punto (5/4, 25/16) en la gráfica de f (x) = x².

Velocidad instantánea

Continuamos nuestra investigación explorando una pregunta relacionada. Teniendo en cuenta que la velocidad puede considerarse como la tasa de cambio de posición, supongamos que tenemos una función, s(t), que proporciona la posición de un objeto a lo largo de un eje de coordenadas en cualquier momento t. ¿Podemos usar estas mismas ideas para crear una definición razonable de la velocidad instantánea en un momento dado t = a? Comenzamos aproximando la velocidad instantánea con una velocidad promedio. Primero, recuerde que la velocidad de un objeto que viaja a una velocidad constante es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que ha viajado. Definimos la velocidad promedio de un objeto durante un período de tiempo como el cambio en su posición dividido por la duración del período de tiempo.

Definición 2.1.2. Velocidad media Sea s(t) la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t. La velocidad media del objeto durante un intervalo de tiempo [a, t] donde a < t (o [t, a] si t < a) es

A medida que se elige t más cerca de a, la velocidad media se acerca a la velocidad instantánea. Tenga en cuenta que encontrar la velocidad media de una función de posición durante un intervalo de tiempo es esencialmente lo mismo que encontrar la pendiente de una recta secante a una función. Además, para encontrar la pendiente de una recta tangente en un punto a, dejamos que los valores de x se acerquen a a en la pendiente de la recta secante. De manera similar, para encontrar la velocidad instantánea en el tiempo a, dejamos que los valores t se acerquen a a en la velocidad media. Este proceso de dejar que x o t se acerque a a en una expresión se llama tomar un límite. Por lo tanto, podemos definir la velocidad instantánea de la siguiente manera.

Definición 2.1.3. Velocidad instantánea

Para una función de posición s(t), la velocidad instantánea en un tiempo t = a es el valor al que se aproximan las velocidades medias en intervalos de la forma [a, t] y [t, a] a medida que los valores de t se acercan a a, siempre que dicho valor exista.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.1_2. Encontrar la velocidad promedio

Se cae una roca desde una altura de 64 pies. Se determina que su altura (en pies) sobre el suelo t segundos después (para 0 ≤ t ≤ 2) viene dada por s(t) = – 16t² + 64. Encuentre la velocidad promedio de la roca sobre cada uno de los intervalos de tiempo dados. Use esta información para adivinar la velocidad instantánea de la roca en el tiempo t = 0.5.
a. [0.49, 0.5]
b. [0.5, 0.51]

Solución:
Sustituya los datos en la fórmula para la definición de velocidad promedio.

La velocidad instantánea está en algún lugar entre −15.84 y −16.16 pies / seg. Una buena suposición podría ser −16 pies / seg.

Ejercicio de control 2.1_2

Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas para que su posición en el tiempo t esté dada por s (t) = t³. Estime su velocidad instantánea en el tiempo t = 2 calculando su velocidad promedio durante el intervalo de tiempo [2, 2.001].

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