Una vista previa del cálculo

El problema del área y el cálculo integral

Ahora dirigimos nuestra atención a una pregunta clásica del cálculo. Muchas cantidades en física, por ejemplo, cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a hacer la pregunta: ¿Cómo podemos encontrar el área entre la gráfica de una función y el eje x en un intervalo [a, b] (Figura 2.1_7)?

Figura 2.1_7  El problema del área: ¿Cómo encontramos el área de la región sombreada?

Como en la respuesta a nuestras preguntas anteriores sobre velocidad, primero tratamos de aproximar la solución. Aproximamos el área dividiendo el intervalo [a, b] en intervalos más pequeños en forma de rectángulos. La aproximación del área proviene de sumar las áreas de estos rectángulos (Figura 2.1_8).

Figura 2.1_8  El área de la región debajo de la curva se aproxima sumando las áreas de rectángulos delgados

A medida que los anchos de los rectángulos se hacen más pequeños (aproximándose a cero), las sumas de las áreas de los rectángulos se aproximan al área entre la gráfica de f (x) y el eje x sobre el intervalo [a, b]. Una vez más, nos encontramos tomando un límite. Los límites de este tipo sirven como base para la definición de la integral definida. El cálculo integral es el estudio de las integrales y sus aplicaciones.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.1_3. Estimación de un área usando rectángulos

Estime el área entre el eje x y la gráfica de f (x) = x² + 1 sobre el intervalo [0, 3] usando los tres rectángulos que se muestran en la figura 2.1_9.

Figura 2.1_8 El área de la región bajo la curva de f (x) = x² + 1 se puede estimar usando rectángulos.

Solución:
Las áreas de los tres rectángulos son 1 unidad², 2 unidad² y 5 unidad². Usando estos rectángulos, nuestra estimación de área es 8 u².

Otros aspectos del cálculo

Hasta ahora, hemos estudiado las funciones de una sola variable. Dichas funciones se pueden representar visualmente mediante gráficas en dos dimensiones; sin embargo, no hay una buena razón para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en lugar de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Es posible que queramos graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la Figura 2.1_10. Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que pueden formularse y responderse mediante el cálculo multivariable. Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite.

Figura 2.1_10  Podemos usar el cálculo multivariable para encontrar el volumen entre una superficie definida por una función de dos variables y un plano.

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One Comment

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