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Ejercicios propuestos del capítulo 2.1

    Para los siguientes tres ejercicios, los puntos P(1, 2) y Q(x, y) están en la gráfica de la función f (x) = x² + 1.

1. [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados: coordenada y de Q, el punto Q (x, y) y la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos .

x	y	Q (x, y)	msec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

 

2. Use los valores en la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para adivinar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 1.

3. Use los valores hallados en el ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto P. Grafique f (x) y la recta tangente.

     Para los siguientes tres ejercicios, los puntos P(1, 1) y Q(x, y) están en la gráfica de la función f (x) = x³.

4. [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados: coordenada y de Q, el punto Q(x, y) y la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos .

x	y	Q (x, y)	msec
1.1	a.	e.	i.
1.01	b.	f.	j.
1.001	c.	g.	k.
1.0001	d.	h.	l.

 

5. Use los valores en la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a f en x = 1.

6. Use los valores obtenidos en el ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto P. Trace la gráfica de f (x) y la recta tangente.

    Para los siguientes tres ejercicios, los puntos P(4, 2) y Q(x, y) están en la gráfica de la función f (x) = √x.

7. [T] Completa la siguiente tabla con los valores apropiados: coordenada y de Q, el punto Q(x, y) y la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q. Redondea tu respuesta a ocho dígitos significativos .

x	y	Q (x, y)	msec
4.1	a.	e.	i.
4.01	b.	f.	j.
4.001	c.	g.	k.
4.0001	d.	h.	l.

 

8. Use los valores en la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a f en x = 4.

9. Use el valor de la pendiente hallado en el ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto P.

    Para los siguientes ejercicios, los puntos P(1.5, 0) y Q(ϕ, y) están en la gráfica de la función f (ϕ) = cos(πϕ).

10. [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados: coordenada y de Q, el punto Q(φ, y) y la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos.

x	y	Q(ϕ, y)	msec
1.4	a.	e.	i.
1.49	b.	f.	j.
1.499	c.	g.	k.
1.4999	d.	h.	l.

11. Use los valores en la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a f en φ = 1.5.

12. Usa el valor del ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto P.

   

    Para los siguientes ejercicios, los puntos P(−1, −1) y Q(x, y) están en la gráfica de la función f (x) = 1/x.

13. [T] Complete la siguiente tabla con los valores apropiados: coordenada y de Q, el punto Q(x, y) y la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos .

x	y	Q(x, y)	msec
−1.05	a.	e.	i.
−1.01	b.	f.	j.
−1.005	c.	g.	k.
−1.001	d.	h.	l.

14. Use los valores en la columna derecha de la tabla en el ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a f en x = −1.

15. Usa el valor hallado en el ejercicio anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto P.

    Para los siguientes ejercicios, la función de posición de una pelota que desde la parte superior de un edificio de 200 metros de altura viene dada por s(t) = 200 − 4.9t², donde la posición s se mide en metros y el tiempo t se mide en segundos. Redondea tu respuesta a ocho dígitos significativos.

16. [T] Calcule la velocidad promedio de la pelota en los intervalos de tiempo dados.

1. [4.99, 5]
2. [5, 5.01]
3. [4.999, 5]
4. [5, 5.001]

 

17. Usa el ejercicio anterior para estimar la velocidad instantánea de la pelota en t = 5 segundos.

 

    Para los siguientes ejercicios, considere una piedra arrojada al aire desde el suelo con una velocidad inicial de 15 m/seg. Su altura en metros en el tiempo t segundos es h(t) = 15t − 4.9t².

18. [T] Calcule la velocidad promedio de la piedra en los intervalos de tiempo dados.

1. [1, 1.05]
2. [1, 1.01]
3. [1, 1.005]
4. [1, 1.001]

19. Usa el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la piedra en t = 1 seg.

 

   Para los siguientes ejercicios, considere el lanzamiento de un cohete en el aire que luego regresa a la Tierra. La altura del cohete en metros viene dada por h(t) = 600 + 78.4t − 4.9t², donde t se mide en segundos.

20. [T] Calcule la velocidad promedio del cohete durante los intervalos de tiempo dados.

1. [9, 9.01]
2. [8.99, 9]
3. [9, 9.001]
4. [8.999, 9]

 

21. Usa el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del cohete en t = 9 segundos.

 

   Para los siguientes ejercicios, considere un atleta corriendo una carrera de 40 m. La posición del atleta viene dada por d(t) = t³/6 + 4t, donde d es la posición en metros y t es el tiempo transcurrido, medido en segundos.

22. [T] Calcule la velocidad promedio del corredor en los intervalos de tiempo dados.

1. [1.95, 2.05]
2. [1.995, 2.005]
3. [1.9995, 2.0005]
4. [2, 2.00001]

 

23. Usa el ejercicio anterior para colegirr la velocidad instantánea del corredor en t = 2 segundos.

 

    Para los siguientes ejercicios, considere la función f (x) = |x|.
24. Dibuje la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 2] y sombree la región sobre el eje x.

25. Usa el ejercicio anterior para encontrar el valor aproximado del área entre el eje x y la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 2] usando rectángulos. Para los rectángulos, use las unidades cuadradas y calcule tanto arriba como debajo de las rectas. Usa la geometría para encontrar la respuesta exacta.

    Para los siguientes ejercicios, considere la función f (x) = √(1 − x²). (Sugerencia: esta es la mitad superior de un círculo de radio 1 con centro en (0, 0)).
26. Dibuje la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 1].

27. Usa el ejercicio anterior para encontrar el área aproximada entre el eje x y la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 1] usando rectángulos. Para los rectángulos, use cuadrados de 0.4 por 0.4 unidades, y aproxime ambos arriba y abajo de las líneas. Usa la geometría para encontrar la respuesta exacta.

    Para los siguientes ejercicios, considere la función f (x) = – x² + 1.
28. Dibuje la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 1].

29. Aproxima el área de la región entre el eje x y la gráfica de f sobre el intervalo [−1, 1].