Sustitución trigonométrica

Integrando expresiones que involucran √(x² − a²)

El dominio de la expresión √(x² − a²) es (−∞, −a] ∪ [a, + ∞). Por lo tanto, x ≤ − a o xa. Por lo tanto, x/a ≤ − 1 o x/a ≥ 1. Dado que estos intervalos corresponden al rango de secθ en el conjunto [0, π/2) ∪ (π/2, π], tiene sentido usar la sustitución secθ = x/a o, de manera equivalente, x = asecθ, donde 0 ≤ θ < π/2 o π/2 < θ ≤ π. La sustitución correspondiente para dx es dx = asecθtanθdθ. El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 5.10_3: INTEGRALES QUE INVOLUCRAN √(x² − a²)

1.  Verifique si la integral no puede evaluarse utilizando otro método. Si es así, podríamos considerar aplicar una técnica alternativa.

2.  Sustituya x = asecθ y dx = asecθtanθdθ. Esta sustitución produce

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Para xa, |atanθ| = atanθ y para x ≤ − a, |atanθ| = −atanθ.

3.  Simplifica la expresión.
4.  Evalúe la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5.  Use los triángulos de referencia de la figura 5.10_6 para reescribir el resultado en términos de x. También es posible que necesite usar algunas identidades trigonométricas y la relación θ = sec ⁻¹(x/a). (Nota: Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las relaciones trigonométricas son diferentes dependiendo de si xa o x ≤ − a.)

Figura 5.10_6 Use el triángulo de referencia apropiado para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ en términos de x.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.10_7. Encontrar el área de una región

Encuentre el área de la región entre la gráfica de f (x) = √(x² − 9)  y el eje x sobre el intervalo [3, 5].

Solución:
Primero, dibuje un gráfico aproximado de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 5.10_7 Calcular el área de la región sombreada requiere evaluar una integral con una sustitución trigonométrica.

Podemos ver que el área está dada por

Para evaluar esta integral definida, sustituya x = 3secθ y dx = 3secθtanθdθ. También debemos cambiar los límites de la integración. Si x = 3, entonces 3 = 3secθ y por lo tanto θ = 0. Si x = 5, entonces θ = sec⁻¹(5/3). Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos

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