| 5.10 Sustitución trigonométrica |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.10

        Simplifica las siguientes expresiones escribiendo cada una usando una sola función trigonométrica:

126. $4 \, – \, 4 \sin^2 \theta$

127. $9 \sec^2 \theta \, – \, 9$

128. $a^2 + a^2 \tan^2 \theta$

129. $a^2 + a^2 \sinh^2 \theta$

130. $16 \cosh^2 \theta \, – \, 16$

        Utilice la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio como el cuadrado de un binomio o el cuadrado de un binomio más una constante:

131. $4x^2 \, – \, 4x + 1$

132. $2x^2 \, – \, 8x + 3$

133. $-x^2 \, – \, 2x + 4$

        Integre usando el método de sustitución trigonométrica. Exprese la respuesta final en términos de la variable:

134. $\int \frac{dx}{\sqrt{4 \, – \, x^2}}$

135. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \, – \, a^2}}$

136. $\int \sqrt{4 \, – \, x^2} \, dx$

137. $\int \frac{dx}{\sqrt{1 + 9x^2}}$

138. $\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1 \, – \, x^2}}$

139. $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1 \, – \, x^2}}$

140. $\int \frac{dx}{(1 + x^2)^2}$

141. $\int \sqrt{x^2 + 9} \, dx$

142. $\int \frac{\sqrt{x^2 \, – \, 25}}{x} \, dx$

143. $\int \frac{\theta^3 d\theta}{\sqrt{9 \, – \, \theta^2}}$

144. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^6 \, – \, x^2}}$

145. $\int \sqrt{x^6 \, – \, x^8} \, dx$

146. $\int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}$

147. $\int \frac{dx}{(x^2 \, – \, 9)^{3/2}}$

148. $\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \, dx$

149. $\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}$

150. $\int \frac{x^2 dx}{x^2 + 4}$

151. $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}$

152. $\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1 + x^2}}$

153. $\int (1 \, – \, x^2)^{3/2} dx$

En los siguientes ejercicios, use las sustituciones \(x = \sinh \theta\), \(\cosh \theta\), o \(\tanh \theta\). Exprese las respuestas finales en términos de la variable \(x\):

154. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}$

155. $\int \frac{dx}{x \sqrt{1 \, – \, x^2}}$

156. $\int \sqrt{x^2 \, – \, 1} \, dx$

157. $\int \frac{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}{x^2} \, dx$

158. $\int \frac{dx}{1 \, – \, x^2}$

159. $\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x^2} \, dx$

Use la técnica de completar el cuadrado para evaluar las siguientes integrales:

160. $\int \frac{1}{x^2 \, – \, 6x} \, dx$

161. $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx$

162. $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 8}} \, dx$

163. $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 10x}} \, dx$

164. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x \, – \, 12}} \, dx$

165. Evalúe la integral sin usar cálculo: $\int_{-3}^3 \sqrt{9 – x^2} \, dx$.

166. Halle el área encerrada por la elipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$.

167. Evalúe la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$ usando dos sustituciones diferentes. Primero, sea $x = \cos \theta$ y evalúe usando sustitución trigonométrica. Segundo, sea $x = \sin \theta$ y use sustitución trigonométrica. ¿Son las respuestas las mismas?

168. Evalúe la integral $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 – 1}}$ usando la sustitución $x = \sec \theta$. Luego, evalúe la misma integral usando la sustitución $x = \csc \theta$. Muestre que los resultados son equivalentes.

169. Evalúe la integral $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$ usando la forma $\int \frac{1}{u} \, du$. Luego, evalúe la misma integral usando $x = \tan \theta$. ¿Son los resultados los mismos?

170. Indique el método de integración que usaría para evaluar la integral $\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx$. ¿Por qué eligió este método?

171. Indique el método de integración que usaría para evaluar la integral $\int x^2 \sqrt{x^2 \, – \, 1} \, dx$. ¿Por qué eligió este método?

172. Evalúe $\int_{-1}^{1} \frac{x \, dx}{x^2 + 1}$

173. Halle la longitud del arco de la curva sobre el intervalo especificado: \(y = \ln x\), \([1, 5]\). Redondee la respuesta a tres lugares decimales.

174. Halle el área de la superficie del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de \(y = x^2\), \(y = 0\), \(x = 0\), y \(x = \sqrt{2}\) alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a tres lugares decimales).

175. La región delimitada por la gráfica de \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) y el eje x entre \(x = 0\) y \(x = 1\) se gira alrededor del eje x. Halle el volumen del sólido que se genera.

Resuelva el problema de valor inicial para \(y\) como una función de \(x\):

176. \((x^2 + 36) \frac{dy}{dx} = 1\), \(y(6) = 0\)

177. \((64 – x^2) \frac{dy}{dx} = 1\), \(y(0) = 3\)

178. Halle el área delimitada por \(y = \frac{2}{\sqrt{64 – 4x^2}}\), \(x = 0\), \(y = 0\), y \(x = 2\).

179. Un tanque de almacenamiento de petróleo se puede describir como el volumen generado al girar el área delimitada por \(y = \frac{16}{\sqrt{64 + x^2}}\), \(x = 0\), \(y = 0\), \(x = 2\) alrededor del eje x. Halle el volumen del tanque (en metros cúbicos).

180. Durante cada ciclo, la velocidad \(v\) (en pies por segundo) de un dispositivo de soldadura robótico está dada por \(v = 2t – \frac{14}{4 + t^2}\), donde \(t\) es el tiempo en segundos. Halle la expresión para el desplazamiento \(s\) (en pies) como una función de \(t\) si \(s = 0\) cuando \(t = 0\).

181. Halle la longitud de la curva \(y = \sqrt{16 – x^2}\) entre \(x = 0\) y \(x = 2\).