| 5.10 Sustitución trigonométrica |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.10
Simplifica las siguientes expresiones escribiendo cada una usando una sola función trigonométrica:
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$4 \, – \, 4 \sin^2 \theta$
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$9 \sec^2 \theta \, – \, 9$
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$a^2 + a^2 \tan^2 \theta$
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$a^2 + a^2 \sinh^2 \theta$
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$16 \cosh^2 \theta \, – \, 16$
Utilice la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio como el cuadrado de un binomio o el cuadrado de un binomio más una constante:
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$4x^2 \, – \, 4x + 1$
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$2x^2 \, – \, 8x + 3$
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$-x^2 \, – \, 2x + 4$
Integre usando el método de sustitución trigonométrica. Exprese la respuesta final en términos de la variable:
$\int \frac{dx}{\sqrt{4 \, – \, x^2}}$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \, – \, a^2}}$
$\int \sqrt{4 \, – \, x^2} \, dx$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + 9x^2}}$
$\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1 \, – \, x^2}}$
$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1 \, – \, x^2}}$
$\int \frac{dx}{(1 + x^2)^2}$
$\int \sqrt{x^2 + 9} \, dx$
$\int \frac{\sqrt{x^2 \, – \, 25}}{x} \, dx$
$\int \frac{\theta^3 d\theta}{\sqrt{9 \, – \, \theta^2}}$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^6 \, – \, x^2}}$
$\int \sqrt{x^6 \, – \, x^8} \, dx$
$\int \frac{dx}{(1 + x^2)^{3/2}}$
$\int \frac{dx}{(x^2 \, – \, 9)^{3/2}}$
$\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \, dx$
$\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}$
$\int \frac{x^2 dx}{x^2 + 4}$
$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}$
$\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\int (1 \, – \, x^2)^{3/2} dx$
En los siguientes ejercicios, use las sustituciones \(x = \sinh \theta\), \(\cosh \theta\), o \(\tanh \theta\). Exprese las respuestas finales en términos de la variable \(x\):
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}$
$\int \frac{dx}{x \sqrt{1 \, – \, x^2}}$
$\int \sqrt{x^2 \, – \, 1} \, dx$
$\int \frac{\sqrt{x^2 \, – \, 1}}{x^2} \, dx$
$\int \frac{dx}{1 \, – \, x^2}$
$\int \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x^2} \, dx$
Use la técnica de completar el cuadrado para evaluar las siguientes integrales:
$\int \frac{1}{x^2 \, – \, 6x} \, dx$
$\int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 8}} \, dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 10x}} \, dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x \, – \, 12}} \, dx$
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Evalúe la integral sin usar cálculo: $\int_{-3}^3 \sqrt{9 – x^2} \, dx$.
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Halle el área encerrada por la elipse $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$.
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Evalúe la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$ usando dos sustituciones diferentes. Primero, sea $x = \cos \theta$ y evalúe usando sustitución trigonométrica. Segundo, sea $x = \sin \theta$ y use sustitución trigonométrica. ¿Son las respuestas las mismas?
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Evalúe la integral $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 – 1}}$ usando la sustitución $x = \sec \theta$. Luego, evalúe la misma integral usando la sustitución $x = \csc \theta$. Muestre que los resultados son equivalentes.
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Evalúe la integral $\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$ usando la forma $\int \frac{1}{u} \, du$. Luego, evalúe la misma integral usando $x = \tan \theta$. ¿Son los resultados los mismos?
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Indique el método de integración que usaría para evaluar la integral $\int x \sqrt{x^2 + 1} \, dx$. ¿Por qué eligió este método?
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Indique el método de integración que usaría para evaluar la integral $\int x^2 \sqrt{x^2 \, – \, 1} \, dx$. ¿Por qué eligió este método?
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Evalúe $\int_{-1}^{1} \frac{x \, dx}{x^2 + 1}$
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Halle la longitud del arco de la curva sobre el intervalo especificado: \(y = \ln x\), \([1, 5]\). Redondee la respuesta a tres lugares decimales.
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Halle el área de la superficie del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de \(y = x^2\), \(y = 0\), \(x = 0\), y \(x = \sqrt{2}\) alrededor del eje x. (Redondee la respuesta a tres lugares decimales).
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La región delimitada por la gráfica de \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) y el eje x entre \(x = 0\) y \(x = 1\) se gira alrededor del eje x. Halle el volumen del sólido que se genera.
Resuelva el problema de valor inicial para \(y\) como una función de \(x\):
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\((x^2 + 36) \frac{dy}{dx} = 1\), \(y(6) = 0\)
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\((64 – x^2) \frac{dy}{dx} = 1\), \(y(0) = 3\)
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Halle el área delimitada por \(y = \frac{2}{\sqrt{64 – 4x^2}}\), \(x = 0\), \(y = 0\), y \(x = 2\).
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Un tanque de almacenamiento de petróleo se puede describir como el volumen generado al girar el área delimitada por \(y = \frac{16}{\sqrt{64 + x^2}}\), \(x = 0\), \(y = 0\), \(x = 2\) alrededor del eje x. Halle el volumen del tanque (en metros cúbicos).
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Durante cada ciclo, la velocidad \(v\) (en pies por segundo) de un dispositivo de soldadura robótico está dada por \(v = 2t – \frac{14}{4 + t^2}\), donde \(t\) es el tiempo en segundos. Halle la expresión para el desplazamiento \(s\) (en pies) como una función de \(t\) si \(s = 0\) cuando \(t = 0\).
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Halle la longitud de la curva \(y = \sqrt{16 – x^2}\) entre \(x = 0\) y \(x = 2\).