Prueba de la raíz

El enfoque de la prueba de la raíz es similar al de la prueba de la razón. Considere una serie infinitatal quepara algún número real ρ. Entonces para N suficientemente grande, Por lo tanto, podemos aproximarnos a

escribiendoLa expresión en el lado derecho es una serie geométrica. Como en la prueba de razón, la serieconverge absolutamente si 0 ≤ ρ < 1 y la serie diverge si ρ ≥ 1. Si ρ = 1, la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p,

vemos que

Para evaluar este límite, utilizamos la función logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que

Usando la regla de L’Hôpital, se deduce que lnρ = 0, y por lo tanto ρ = 1 para todo p. Sin embargo, sabemos que la serie p solo converge si p > 1 y diverge si p < 1.

TEOREMA 7.6_2. Prueba de la raíz

Considere la serie infinita dadaSea i.    Si 0 ≤ ρ <1, entonces la serie infinita converge absolutamente. ii.   Si ρ > 1 o ρ = ∞, entonces la serie diverge. iii.  Si ρ = 1, la prueba no proporciona ninguna información.

La prueba raíz es útil para series cuyos términos involucran exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos satisfacen

entonces

y solo necesitamos evaluar lim_{n → ∞} b_n.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.6_2. Usando la prueba de la raíz

Para cada una de las siguientes series, use la prueba de la raíz para determinar si la serie converge o diverge.

Solución:
a. Para aplicar la prueba de la raíz, calculamos

Dado que ρ < 1, la serie converge absolutamente.
b. Tenemos

(se aplicó la regla de L’Hôpital.)

Como ρ = ∞, la serie diverge.

Elegir una prueba de convergencia

En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas se pueden usar para todas las series. Cuando se nos da una serie, debemos determinar qué prueba es la mejor para usar. Aquí hay una estrategia para encontrar la mejor prueba para aplicar.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS: ELEGIR UNA PRUEBA DE CONVERGENCIA PARA UNA SERIE

Considere una serie infinita En los pasos a continuación, describimos una estrategia para determinar si la serie converge. ¿Es la serie infinita una serie familiar? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alternante (que converge)? ¿Es una serie p o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia p o la razón r para determinar si la serie converge. ¿Es una serie alternante? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa saber si la serie converge, aplique la prueba de series alternantes. Si estamos interesados en la convergencia absoluta, proceda al paso 3, considerando la serie de valores absolutos. ¿Es la serie similar a una serie p o una serie geométrica? Si es así, pruebe la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites. ¿Los términos de la serie contienen un factorial o potencia? Si los términos son potencias tales que , intente primero la prueba de la raíz. De lo contrario, intente la prueba de la razón primero. Usa la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, intente la prueba de la integral.