| 2. Límites y continuidad | 2.3 Propiedades de los límites de una función |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 2.3
En los siguientes ejercicios, use las leyes de límites para evaluar cada límite. Justifique cada paso indicando las leyes de límite apropiadas.
83. limx → 0 (4x2 − 2x + 3)
En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite.
En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para mostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada 0/0. Luego, evalúe el límite.
donde a es una constante de valor real distinta de cero.
99. \(\lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{\sin \theta}{\tan \theta}\)
100. \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\)
101. \(\lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{2x^{2}+3x-2}{2x-1}\)
102. \(\lim_{x\rightarrow-3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}\)
En los siguientes ejercicios, usa la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. Luego, utiliza el método del Ejemplo 2.3_11 para simplificar la función y ayudar a determinar el límite:
103. \(\lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)
104. \(\lim_{x\rightarrow-2^{+}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)
105. \(\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)
106. \(\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)
En los siguientes ejercicios, asuma que \(\lim_{x\rightarrow6}f(x)=4\), \(\lim_{x\rightarrow6}g(x)=9\) y \(\lim_{x\rightarrow6}h(x)=6\). Use estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada límite:
107. \(\lim_{x\rightarrow6}2f(x)g(x)\)
108. \(\lim_{x\rightarrow6}\frac{g(x)-1}{f(x)}\)
109. \(\lim_{x\rightarrow6}(f(x)+\frac{1}{3}g(x))\)
110. \(\lim_{x\rightarrow6}\frac{(h(x))^{3}}{2}\)
111. \(\lim_{x\rightarrow6}\sqrt{g(x)-f(x)}\)
112. \(\lim_{x\rightarrow6}x\cdot h(x)\)
113. \(\lim_{x\rightarrow6}[(x+1)\cdot f(x)]\)
114. \(\lim_{x\rightarrow6}(f(x)\cdot g(x)-h(x))\)
[T] En los siguientes ejercicios, usa una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida por partes y estudia el gráfico para evaluar los límites dados:
115. \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 3 \\ x+4, & x > 3 \end{cases}\)
a. \(\lim_{x\rightarrow3^{-}}f(x)\)
b. \(\lim_{x\rightarrow3^{+}}f(x)\)
116. \(g(x) = \begin{cases} x^3-1, & x \le 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}\)
a. \(\lim_{x\rightarrow0^{-}}g(x)\)
b. \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}g(x)\)
117. \(h(x) = \begin{cases} x^2-2x+1, & x < 2 \\ 3-x, & x \ge 2 \end{cases}\)
a. \(\lim_{x\rightarrow2^{-}}h(x)\)
b. \(\lim_{x\rightarrow2^{+}}h(x)\)
En los siguientes ejercicios, usa los siguientes gráficos y las leyes del límite para evaluar cada límite:
118. \(\lim_{x\rightarrow3^{+}}(f(x)+g(x))\)
119. \(\lim_{x\rightarrow-3^{-}}(f(x)-3g(x))\)
120. \(\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)}{3}\)
121. \(\lim_{x\rightarrow-5}\frac{2+g(x)}{f(x)}\)
122. \(\lim_{x\rightarrow1}(f(x))^{2}\)
123. \(\lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{f(x)-g(x)}\)
124. \(\lim_{x\rightarrow-7}(x\cdot g(x))\)
125. \(\lim_{x\rightarrow-9}[x\cdot f(x)+2\cdot g(x)]\)
Para los siguientes problemas, evalúe el límite usando el teorema del encaje (o teorema del sándwich). Use una calculadora para graficar las funciones \(f(x)\), \(g(x)\) y \(h(x)\) cuando sea posible:
126. [T] ¿Verdadero o Falso? Si \(2x – 1 \le g(x) \le x^2 – 2x + 3\), entonces \(\lim_{x\rightarrow2}g(x) = 0\).
127. [T] \(\lim_{\theta\rightarrow0}\theta^2\cos(\frac{1}{\theta})\)
128. \(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\), donde \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \text{ racional} \\ x^2, & x \text{ irracional} \end{cases}\)
129. [T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia \(r\) en el vacío está regida por la ley de Coulomb: \(E(r)=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\), donde \(E\) representa la magnitud del campo eléctrico, \(q\) es la carga de la partícula, \(r\) es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y \(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\) es la constante de Coulomb: \(8.988\times10^{9}N\cdot m^{2}/C^{2}\).
a. Use una calculadora gráfica para graficar \(E(r)\) dado que la carga de la partícula es \(q=10^{-10}\).
b. Evalúe \(\lim_{r\rightarrow0^{+}}E(r)\). ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa desde la derecha?
130. [T] La densidad de un objeto está dada por su masa dividida por su volumen: \(\rho = \frac{m}{V}\).
a. Use una calculadora para graficar el volumen como una función de la densidad \((V = \frac{m}{\rho})\), asumiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg \((m = 8)\).
b. Evalúe \(\lim_{\rho\rightarrow0^{+}}V(\rho)\) y explique el significado físico.
Excelente material. Muchas gracias.
Con mucho gusto 😺👍
Buenas tardes
Muy buen aporte.
Les envío un comentario sobre “CÁLCULO 21”
2.3 LAS LEYES DE LÍMITES: Objetivos de aprendizaje
TEOREMA 2.3.2 Leyes de límites
Raiz:
Donde dice:
“para todo L si n es par
y para L>=0 si n es impar”
Debería decir:
“Para todo L si n es impar.
Para todo L>=0 si n es par.”
Muchas gracias
Hola Hugo
Gracias por el comentario.
Tiene toda la razón! Ya lo he corregido 👍
Era muy difícil darme cuenta de ese error! 😺👍