| 2. Límites y continuidad | 2.3 Propiedades de los límites de una función |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 2.3

En los siguientes ejercicios, use las leyes de límites para evaluar cada límite. Justifique cada paso indicando las leyes de límite apropiadas.

 83. lim_{x → 0} (4x² − 2x + 3)

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite.

En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para mostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada 0/0. Luego, evalúe el límite.

donde a es una constante de valor real distinta de cero.

99. \(\lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{\sin \theta}{\tan \theta}\)

100. \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\)

101. \(\lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}}\frac{2x^{2}+3x-2}{2x-1}\)

102. \(\lim_{x\rightarrow-3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}\)

      En los siguientes ejercicios, usa la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. Luego, utiliza el método del Ejemplo 2.3_11 para simplificar la función y ayudar a determinar el límite:

103. \(\lim_{x\rightarrow-2^{-}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)

104. \(\lim_{x\rightarrow-2^{+}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)

105. \(\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)

106. \(\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}\)

En los siguientes ejercicios, asuma que \(\lim_{x\rightarrow6}f(x)=4\), \(\lim_{x\rightarrow6}g(x)=9\) y \(\lim_{x\rightarrow6}h(x)=6\). Use estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada límite:

107. \(\lim_{x\rightarrow6}2f(x)g(x)\)

108. \(\lim_{x\rightarrow6}\frac{g(x)-1}{f(x)}\)

109. \(\lim_{x\rightarrow6}(f(x)+\frac{1}{3}g(x))\)

110. \(\lim_{x\rightarrow6}\frac{(h(x))^{3}}{2}\)

111. \(\lim_{x\rightarrow6}\sqrt{g(x)-f(x)}\)

112. \(\lim_{x\rightarrow6}x\cdot h(x)\)

113. \(\lim_{x\rightarrow6}[(x+1)\cdot f(x)]\)

114. \(\lim_{x\rightarrow6}(f(x)\cdot g(x)-h(x))\)

      [T] En los siguientes ejercicios, usa una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida por partes y estudia el gráfico para evaluar los límites dados:

115. \(f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 3 \\ x+4, & x > 3 \end{cases}\)

a. \(\lim_{x\rightarrow3^{-}}f(x)\)

b. \(\lim_{x\rightarrow3^{+}}f(x)\)

116. \(g(x) = \begin{cases} x^3-1, & x \le 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}\)

a. \(\lim_{x\rightarrow0^{-}}g(x)\)

b. \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}g(x)\)

117. \(h(x) = \begin{cases} x^2-2x+1, & x < 2 \\ 3-x, & x \ge 2 \end{cases}\)

a. \(\lim_{x\rightarrow2^{-}}h(x)\)

b. \(\lim_{x\rightarrow2^{+}}h(x)\)

        En los siguientes ejercicios, usa los siguientes gráficos y las leyes del límite para evaluar cada límite:

118. \(\lim_{x\rightarrow3^{+}}(f(x)+g(x))\)

119. \(\lim_{x\rightarrow-3^{-}}(f(x)-3g(x))\)

120. \(\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)g(x)}{3}\)

121. \(\lim_{x\rightarrow-5}\frac{2+g(x)}{f(x)}\)

122. \(\lim_{x\rightarrow1}(f(x))^{2}\)

123. \(\lim_{x\rightarrow1}\sqrt[3]{f(x)-g(x)}\)

124. \(\lim_{x\rightarrow-7}(x\cdot g(x))\)

125. \(\lim_{x\rightarrow-9}[x\cdot f(x)+2\cdot g(x)]\)

Para los siguientes problemas, evalúe el límite usando el teorema del encaje (o teorema del sándwich). Use una calculadora para graficar las funciones \(f(x)\), \(g(x)\) y \(h(x)\) cuando sea posible:

126. [T] ¿Verdadero o Falso? Si \(2x – 1 \le g(x) \le x^2 – 2x + 3\), entonces \(\lim_{x\rightarrow2}g(x) = 0\).

127. [T] \(\lim_{\theta\rightarrow0}\theta^2\cos(\frac{1}{\theta})\)

128. \(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\), donde \(f(x) = \begin{cases} 0, & x \text{ racional} \\ x^2, & x \text{ irracional} \end{cases}\)

129. [T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia \(r\) en el vacío está regida por la ley de Coulomb: \(E(r)=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\), donde \(E\) representa la magnitud del campo eléctrico, \(q\) es la carga de la partícula, \(r\) es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y \(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\) es la constante de Coulomb: \(8.988\times10^{9}N\cdot m^{2}/C^{2}\).

a. Use una calculadora gráfica para graficar \(E(r)\) dado que la carga de la partícula es \(q=10^{-10}\).

b. Evalúe \(\lim_{r\rightarrow0^{+}}E(r)\). ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa desde la derecha?

130. [T] La densidad de un objeto está dada por su masa dividida por su volumen: \(\rho = \frac{m}{V}\).

a. Use una calculadora para graficar el volumen como una función de la densidad \((V = \frac{m}{\rho})\), asumiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg \((m = 8)\).

b. Evalúe \(\lim_{\rho\rightarrow0^{+}}V(\rho)\) y explique el significado físico.