| 2. Límites y continuidad | 2.3 Propiedades de los límites de una función |

Leyes de límites aplicadas a límites unilaterales

Volvamos ahora a los límites unilaterales. Las modificaciones simples en las leyes de límites nos permiten aplicarlas a límites unilaterales. Por ejemplo, para aplicar las leyes de límite a un límite de la forma lim_{x → a−} h(x), requerimos que la función h(x) se defina en un intervalo abierto de la forma (b, a); para un límite de la forma lim_{x → a+} h(x), requerimos que la función h(x) se defina en un intervalo abierto de la forma (a, c). El ejemplo 2.3_9 ilustra este punto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_9. Evaluación de un límite unilateral utilizando las leyes de límites

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible.

Solución
La figura 2.3_2 ilustra la función f (x) = √(x − 3) y ayuda a comprender estos límites.

a. La función f (x) = √(x − 3) se define en el intervalo [3, + ∞). Como esta función no está definida a la izquierda de 3, no podemos aplicar las leyes de límite para calcular lim_{x → 3−} √(x − 3). De hecho, dado que f (x) = √(x − 3) no está definido a la izquierda de 3, lim_{x → 3−} √(x − 3) no existe.
b. Dado que f (x) = √(x − 3) se define a la derecha de 3, las leyes de límite se aplican a  lim_{x → 3+} √(x − 3). Al aplicar estas leyes de límite obtenemos lim_{x → 3+} √(x − 3)  = 0.

En el ejemplo 2.3_10 observamos los límites unilaterales de una función definida por partes y usamos estos límites para sacar una conclusión sobre un límite bilateral de la misma función.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_10. Evaluación de un límite bilateral usando las leyes de límite

Para

evalúe cada uno de los siguientes límites:

Solución:
La figura 2.3_3 ilustra la función f (x) y ayuda a comprender estos límites.

a. Dado que f (x) = 4x − 3 para todas las x en (−∞, 2), reemplace f (x) en el límite con 4x − 3 y aplique las leyes de límite:

b. Dado que f (x) = (x − 3)² para todo x en (2, + ∞), reemplace f (x) en el límite con (x − 3) 2 y aplique las leyes de límite:

c. Como lim_{x → 2−} f (x) = 5 y lim_{x → 2+} f (x) = 1, concluimos que lim_{x → 2} f (x) no existe.

Ejercicio de control 2.3_7

Ahora dirigimos nuestra atención a evaluar un límite de la forma

donde

y

Es decir, f (x) / g (x) tiene la forma K / 0, K ≠ 0 en a.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_11. Evaluación de un límite de la forma K / 0, K ≠ 0. Usando las leyes de límite

Evaluar

Solución
Paso 1. Después de sustituir en x = 2, vemos que este límite tiene la forma −1/0. Es decir, cuando x se acerca a 2 desde la izquierda, el numerador se acerca a −1; y el denominador se aproxima a 0. En consecuencia, la magnitud de

se vuelve infinito. Para tener una mejor idea de cuál es el límite, necesitamos factorizar el denominador:

Paso 2. Dado que x − 2 es la única parte del denominador que es cero cuando 2 está sustituido, separamos 1 / (x − 2) del resto de la función:

Paso 3. Los límites unilaterales por la izquierda dan

Por lo tanto, el producto de (x − 3) / x y 1 / (x − 2) tiene un límite de + ∞:

Ejercicio de control 2.3_8

El teorema de compresión (estricción)

Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de las funciones trigonométricas básicas. El siguiente teorema, llamado teorema de compresión, resulta muy útil para establecer límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular límites “exprimiendo” una función, con un límite, en un punto a, que es desconocido, entre dos funciones que tienen un límite común conocido en a. La figura 2.3_4 ilustra esta idea.

Figura 2.3_4 El teorema de compresión se aplica cuando f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y lim_{x → a} f (x) = lim_{x → a} h(x).

TEOREMA 2.3.1 El teorema de compresión o estricción

Sean las funciones f (x), g(x) y h(x) definidas para todo x ≠ a en un intervalo abierto que contenga a a. Si para todo x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a a y donde L es un número real, entonces

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_12. Aplicando el teorema de compresión

Aplique el teorema de compresión para evaluar lim_{x → 0} xcos x.

Solución:
Como −1 ≤ cosx ≤ 1 para todas las x, tenemos -| x | ≤ xcosx ≤ | x |. Como lim_{x → 0} (-| x |) = 0 = lim_{x → 0} | x |, a partir del teorema de compresión, obtenemos lim_{x → 0} xcosx = 0. Las gráficas de f (x) = -| x |, g(x) = xcosx y h(x) = | x | se muestran en la figura 2.3_5.

Ejercicio de control 2.3_9

Utilice el teorema de la compresión para evaluar lím_{x → 0} x²sen(1/x).

Ahora usamos el teorema de compresión para abordar varios límites muy importantes. Aunque esta discusión es algo larga, estos límites resultan invaluables para el desarrollo del material tanto en la siguiente sección como en el próximo capítulo. El primero de estos límites es lim_{θ → 0}senθ. Considere el círculo unitario que se muestra en la figura 2.3_6. En la figura, vemos que senθ es la coordenada y en el círculo unitario y corresponde al segmento de recta que se muestra en azul. La medida en radianes del ángulo θ es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. Por lo tanto, vemos que para 0 < θ < π/2,0 < senθ < θ.

Debido a que

mediante el uso del teorema de compresión, concluimos que

Para ver que también

observe que para −π/2 < θ < 0, 0 < −θ < π/2 y por lo tanto, 0 < sen (−θ) < – θ. En consecuencia, 0 <−senθ <−θ. Se sigue que 0 > senθ > θ. Una aplicación del teorema de compresión produce el límite deseado. Por lo tanto, desde

se concluye que

Luego, usando la identidad

para −π/2 < θ < π/2, vemos que

Ahora echamos un vistazo a un límite que juega un papel importante en capítulos posteriores, a saber, lim_{θ → 0} (senθ)/θ.

Para evaluar este límite, usamos el círculo unitario de la figura 2.3_7. Observe que esta figura agrega un triángulo adicional a la Figura 2.3_6. Vemos que la longitud del lado opuesto del ángulo θ en este nuevo triángulo es tanθ. Por lo tanto, vemos que para 0 < θ < π/2, senθ < θ < tanθ.

Al dividir por senθ en todas las partes de la desigualdad, obtenemos

Equivalentemente tenemos

Como lim_{θ → 0+} 1 = 1 = lim_{θ → 0+} cosθ, concluimos que lim_{θ → 0+} senθ/θ = 1. Al aplicar una manipulación similar a la utilizada para demostrar que lim_{θ → 0−} senθ = 0, podemos mostrar que lim_{θ → 0−} senθ/θ = 1. Así,

En el ejemplo 2.3_13 usamos este límite para establecer que

Este límite también resulta útil en capítulos posteriores.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.3_13. Evaluación de un límite trigonométrico importante

Evaluar

Solución:
En el primer paso, multiplicamos por el conjugado para que podamos usar una identidad trigonométrica para convertir el coseno en el numerador en un seno:

Por lo tanto,

Ejercicio de control 2.3_10

Evalúe lim_{θ → 0} (1 − cosθ)/senθ.

Ejercicios resueltos