Funciones trigonométricas

(FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS)

Ejercicios propuestos del capítulo 1.3

    Para los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de grados a radianes. Escribe la respuesta como un múltiplo de π.

113. 240 °
114. 15 °
115. −60 °

116. −225 °
117. 330 °

    Para los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de radianes a grados sexagesimales.

118. π/2 rad
119. 7π/6 rad
120. 11π/2 rad

121. −3π rad
122. 5π/12 rad

    Evaluar los siguientes valores funcionales.

123. cos(4π/3)
124. tan(19π/4)
125. sen(−3π/4)

126. sec(π/6)
127. sen(π/12)
128. cos(5π/12)

    Para los siguientes ejercicios, considere el triángulo ABC, un triángulo rectángulo con un ángulo recto en Ca. Encuentra el lado faltante del triángulo.  b. Encuentre los seis valores de la función trigonométrica para el ángulo en A. Cuando sea necesario, redondee a un decimal.

129. a = 4, c = 7
130. a = 21, c = 29
131. a = 85.3, b = 125.5

132. b = 40, c = 41
133. a = 84, b = 13
134. b = 28, c = 35

    Para los siguientes ejercicios, P es un punto en el círculo unitario.  a. Encuentre el valor de coordenadas faltante (exacto) de cada punto y  b. encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ con un lado terminal que pasa por el punto P. Racionalice los denominadores.

135. P(7/25, y), y > 0
136. P(−15/17, y), y < 0

137. P(x, √7/3), x < 0
138. P(x, −√15/4), x > 0

    Para los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión escribiéndola en términos de senos y cosenos, luego simplifique. La respuesta final no tiene que ser solo en términos de seno y coseno.

139. tan²x + senxcscx
140. secxsenxcotx
141. tan²x/sec²x
142. secx − cosx

143. (1 + tanθ)²−2tanθ
144. senx(cscx − senx)
145. cost/sent + sent/(1 + cost)
146. (1 + tan²α)/(1 + cot²α)

    Para los siguientes ejercicios, verifique que cada ecuación sea una identidad.

147. (tanθcotθ)/cscθ = senθ
148. sec²θ/tanθ = secθcscθ
149. sent/csct + cost/sect = 1
150. senx/(cosx + 1) + (cosx − 1)/senx = 0

151. cotγ + tanγ = secγcscγ
152. sen²β + tan²β + cos²β = sec²β
153. 1/(1 − senα) + 1/(1 + senα) = 2sec²α
154. (tanθ − cotθ)/senθcosθ = sec²θ − csc²θ

    Para los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0 ≤ θ < 2π.

155. 2senθ − 1 = 0
156. 1 + cosθ = 1/2
157. 2tan²θ = 2
158. 4sen²θ − 2 = 0

159. √3cotθ + 1 = 0
160. 3secθ − 2√3 = 0
161. 2cosθsenθ = senθ
162. csc2θ + 2cscθ + 1 = 0

    Para los siguientes ejercicios, cada gráfica tiene la forma y = AsenBx o y = AcosBx, donde B > 0. Escribe la ecuación de la gráfica.

    Para los siguientes ejercicios, encuentre  a. la amplitud,  b. el período, y  c. El cambio de fase con dirección para cada función.

167. y = sen(x − π/4)
168. y = 3cos (2x + 3)
169. y = – (1/2)sen(x/4)

170. y = 2cos(x − π/3)
171. y = −3sen(πx + 2)
172. y = 4cos(2x − π/2)

173. [T] El diámetro de una rueda que gira por el suelo es de 40 pulgadas. Si la rueda gira en un ángulo de 120°, ¿cuántas pulgadas se mueve? Aproximadamente a la pulgada entera más cercana.

174. [T] Encuentre la longitud del arco interceptado por el ángulo central θ en un círculo de radio r. Redondea a la centésima más cercana.
a. r = 12.8 cm, θ = 5π6 rad  b. r = 4.378 cm, θ = 7π6 rad  c. r = 0,964 cm, θ = 50°  d. r = 8,55 cm, θ = 325°.

175. [T] Cuando un punto P se mueve alrededor de una circunferencia, la medida del ángulo cambia. La medida de qué tan rápido está cambiando el ángulo se llama velocidad angular, ω, y viene dada por ω = θ/t, donde θ está en radianes y t es el tiempo. Encuentra la velocidad angular para los datos dados. Redondea a la milésima más cercana. a. θ = 7π/4 rad, t = 10 segundos  b. θ = 3π/5 rad, t = 8 segundos  c. θ = 2π/9 rad, t = 1 min  d. θ = 23.76 rad, t = 14 min.

176. [T] Se necesita un total de 250,000 m² de terreno para construir una central nuclear. Supongamos que usted decide que el área sobre la cual se construirá la central debe ser circular.

  1. Encuentra el radio del área del terreno circular.
  2. Si el área del terreno va a formar un sector circular de 45° en lugar de un círculo completo, encuentre la longitud del lado curvo.

 

177. [T] El área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud x es
12x²senθ, donde θ es el ángulo formado por los dos lados. Encuentre el área de un triángulo isósceles con lados iguales de 8 pulgadas de largo y ángulo θ = 5π/12 rad.

178. [T] Una partícula viaja en una trayectoria circular a una velocidad angular constante ω. La velocidad angular está modelada por la función ω = 9|cos(πt − π/12)|. Determine la velocidad angular en t = 9 seg.

179. [T] Una corriente alterna para salidas en un hogar tiene voltaje dado por la función V(t) = 150cos368t, donde V es el voltaje en voltios en el tiempo t en segundos.

  1. Encuentre el período de la función e interprete su significado.
  2. Determine la cantidad de períodos que ocurren cuando ha pasado 1 segundo.

 

180. [T] La función que modela el número de horas de luz diurna en una ciudad del noreste

N(t) = 12 + 3sen[2π365(t − 79)],

 donde t es el número de días después del 1 de enero.

  1. Encuentra la amplitud y el período.
  2. Determine la cantidad de horas de luz en el día más largo del año.
  3. Determine la cantidad de horas de luz en el día más corto del año.
  4. Determine la cantidad de horas de luz del día 90 días después del 1 de enero.
  5. Dibuje la gráfica de la función para un período que comienza el 1 de enero.

 

181. [T] Suponga que T = 50 + 10sen[(π/12)(t − 8)] es un modelo matemático de la temperatura (en grados Fahrenheit) a las t horas después de la medianoche de un determinado día de la semana.

  1. Determinar la amplitud y el período.
  2. Encuentra la temperatura 7 horas después de la medianoche.
    ¿A qué hora T = 60 °?
  3. Dibuje la gráfica de T sobre 0 ≤ t ≤ 24.

 

182. [T] La función H(t) = 8sen(πt/6) modela la altura H (en pies) de la marea t horas después de la medianoche. Suponga que t = 0 es medianoche.

  1. Encuentra la amplitud y el período.
  2. Representa gráficamente la función en un período.
  3. ¿Cuál es la altura de la marea a las 4:30 a.m.?

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