Determinación de volúmenes por rebanadas

Ejercicios propuestos del capítulo 6.2:

“Determinación de volúmenes por rebanadas”

 

58. Derive la fórmula para el volumen de una esfera usando el método de corte.

59. Usa el método de rebanar para derivar la fórmula del volumen de un cono.

60. Usa el método de corte para derivar la fórmula para el volumen de un tetraedro con una longitud de lado a.

61. Utilice el método del disco para derivar la fórmula del volumen de un cilindro trapezoidal.

62. Explique cuándo usaría el método del disco en lugar del método de la arandela. ¿Cuándo son intercambiables?

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje un corte típico y encuentre el volumen usando el método de corte para el volumen dado.

63. Una pirámide con 6 unidades de altura y base cuadrada de 2 unidades de lado, como se muestra en la siguiente figura.

64. Una pirámide de 4 unidades de altura y una base rectangular de 2 unidades de largo y 3 unidades de ancho, como se muestra en la siguiente figura.

65. Un tetraedro con un lado de base de 4 unidades, como se ve en la siguiente figura

66. Una pirámide con una altura de 5 unidades y una base triangular isósceles con longitudes de 6 y 8 unidades, como se ve en la siguiente figura.

67. Un cono de radio r y altura h tiene un cono más pequeño de radio r/2 y altura h/2 retirado de la parte superior, como se ve en la siguiente figura. El sólido resultante se llama tronco (frustum).

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje un contorno del sólido y encuentre el volumen usando el método de rebanado.

68. La base es un círculo de radio a. Las rodajas perpendiculares a la base son cuadrados.
69. La base es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). Las rebanadas perpendiculares al eje x son semicírculos.
70. La base es la región bajo la parábola y = 1 − x² en el primer cuadrante. Las rebanadas perpendiculares al plano xy son cuadrados.
71. La base es la región debajo de la parábola y = 1 − x² y por encima del eje x. Las rebanadas perpendiculares al eje y son cuadrados.
72. La base es la región encerrada por y = x² e y = 9. Las rebanadas perpendiculares al eje x son triángulos isósceles rectos. La intersección de uno de estos cortes y la base es el cateto del triángulo.
73. La base es el área entre y = x y y = x². Las rebanadas perpendiculares al eje x son semicírculos.

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método del disco para encontrar el volumen cuando la región se gira alrededor del eje x.

74. x + y = 8, x = 0, e y = 0

75. y = 2x², x = 0, x = 4 e y = 0

76. y = e^x + 1, x = 0, x = 1 e y = 0

77. y = x⁴, x = 0 e y = 1

78. y = √x, x = 0, x = 4 e y = 0

79. y = senx, y = cosx y x = 0

80. y = 1/x, x = 2 e y = 3

81. x² − y² = 9 y x + y = 9, y = 0 y x = 0

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentre el volumen cuando la región se gira alrededor del eje y.

82. y = 4 − (1/2)x, x = 0 e y = 0

83. y = 2x³, x = 0, x = 1 e y = 0

84. y = 3x², x = 0 e y = 3

85. y = √(4 − x²), y = 0 y x = 0

86. y = 1/√(x + 1), x = 0 y x = 3

87. x = sec(y), y = π/4, y = 0 y x = 0

88. y = 1/(x + 1), x = 0 y x = 2

89. y = 4 − x, y = x, y x = 0

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, encuentre el volumen cuando la región gira alrededor del eje x.

90. y = x + 2, y = x + 6, x = 0 y x = 5

91. y = x² y y = x + 2
92. x² = y³ y x³ = y²
93. y = 4 − x² e y = 2 − x
94. [T] y = cosx, y = e ^{− x}, x = 0 y x = 1.2927
95. y = √x e y = x²
96. y = senx, y = 5senx, x = 0 y x = π
97. y = √(1 + x²) e y = √(4 − x²)

 

          Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. Luego, use el método de arandela para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del eje y.

98. y = √x, x = 4 e y = 0
99. y = x + 2, y = 2x − 1 y x = 0
100. y = x^1/3 e y = x³
101. x = e^2y, x = y², y = 0, e y = ln(2)
102. x = √(9 − y²), x = e^−y, y = 0 e y = 3

 

103. Los envases de yogur pueden tener forma de tronco. Gire la recta y = (1/m)x alrededor del eje y para encontrar el volumen entre y = a y y = b.

104. Gire la elipse (x²/a²) + (y²/b²) = 1 alrededor del eje x para aproximar el volumen de una pelota de fútbol, como se ve en la siguiente imagen.

105. Gire la elipse (x²/a²) + (y²/b²) = 1 = 1 alrededor del eje y para aproximar el volumen de una pelota de fútbol.

 

106. Una mejor aproximación del volumen de una pelota de fútbol está dada por el sólido que proviene de girar y = senx alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = π. ¿Cuál es el volumen de esta aproximación al fútbol, como se ve en la siguiente imagen?

107. ¿Cuál es el volumen de la torta Bundt que proviene de girar y = sinx alrededor del eje y desde x = 0 hasta x = π?

          Para los siguientes ejercicios, encuentre el volumen del sólido descrito.

108. La base es la región entre y = x e y = x². Las rebanadas perpendiculares al eje x son semicírculos.
109. La base es la región encerrada por la elipse genérica (x²/a²) + (y²/b²) = 1. Las rebanadas perpendiculares al eje x son semicírculos.
110. Taladre un agujero de radio a en el eje de un cono recto y a través de la base del radio b, como se ve en  la siguiente figura.

111. Encuentre el volumen común a dos esferas de radio r con centros separados por 2h, como se muestra en la siguiente figura.

112. Encuentre el volumen de un casquete esférico de altura h y radio r donde h < r, como se ve en la siguiente figura.

113. Halle el volumen de una esfera de radio R con un casquete de altura h quitado de la parte superior, como se ve en la siguiente figura.