| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.4.1. Crecimiento y decrecimiento |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.4.1

1. La vida media de una sustancia radiactiva es de 3200 años. Encuentre la cantidad Q(t) de la sustancia que queda en el tiempo t > 0 si Q(0) = 20 g.

2. La vida media de una sustancia radiactiva es de 2 días. Encuentre el tiempo requerido para que una cantidad dada del material se descomponga a 1/10 de su masa original.

3. Un material radiactivo pierde el 25% de su masa en 10 minutos. ¿Cuál es su vida media?

4. Un árbol contiene un porcentaje conocido p₀ de una sustancia radiactiva con vida media τ. Cuando el árbol muere, la sustancia se descompone y no se reemplaza. Si se encuentra que el porcentaje de la sustancia en los restos fosilizados de tal árbol es p1, ¿cuánto tiempo ha estado muerto el árbol?

5. Si t_p y t_q son los tiempos necesarios para que un material radiactivo se desintegre a 1/p y 1/q veces su masa original (respectivamente), ¿cómo se relacionan t_p y t_q ?

6. Encuentre la constante de decaimiento k para una sustancia radiactiva, dado que la masa de la sustancia es Q₁ en el tiempo t₁ y Q₂ en el tiempo t₂.

7. Un proceso crea una sustancia radiactiva a razón de 2 g/hr y la sustancia se desintegra a una tasa proporcional a su masa, con constante de proporcionalidad k = 0.1(hr)⁻¹. Si Q(t) es la masa de la sustancia en el tiempo t, encuentre lim_t→∞Q(t).

8. Un banco paga intereses continuamente a una tasa del 6%. ¿Cuánto tiempo tarda un depósito de Q₀ en crecer en valor a 2Q₀?

9. ¿A qué tasa de interés, compuesta continuamente, se duplicará el valor de un depósito bancario en 8 años?

10. Una cuenta de ahorros paga 5% anual de interés capitalizado continuamente. El depósito inicial es de Q₀ dólares. Suponga que no hay retiros o depósitos posteriores.
(a) ¿En cuánto tiempo se triplicará el valor de la cuenta?
(b) ¿Cuánto vale Q₀ si el valor de la cuenta después de 10 años es de $100 000 dólares?

11. Un fabricante de dulces produce 500 libras de dulces por semana, mientras que su familia numerosa come los dulces a una tasa igual a Q(t)/10 libras por semana, donde Q(t) es la cantidad de dulces presentes en el tiempo t.
(a) Encuentre Q(t) para t > 0 si el fabricante de dulces tiene 250 libras de dulces en t = 0.
(b) Encuentre lím_t→∞ Q(t).

12. Suponga que una sustancia se desintegra a una tasa anual igual a la mitad del cuadrado de la masa de la sustancia presente. Si comenzamos con 50 g de la sustancia, ¿cuánto tiempo pasará hasta que solo queden 25 g?

13. Una súper masa de pan aumenta de volumen a un ritmo proporcional al volumen V presente. Si V aumenta por un factor de 10 en 2 horas y V(0) = V₀, encuentre V en cualquier tiempo t. ¿Cuánto tiempo tardará V en aumentar a 100V₀?

14. Una sustancia radiactiva se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente, y queda la mitad de la cantidad original Q₀ después de 1500 años. ¿En cuántos años se reduciría la cantidad original a 3Q₀/4? ¿Cuánto quedará después de 2000 años?

15. Un mago crea oro continuamente a una tasa de 1 onza por hora, pero un asistente lo roba continuamente a una tasa del 5% de lo que hay por hora. Sea W(t) el número de onzas que tiene el mago en el momento t. Encuentre W(t) y lim_t→∞ W(t) si W(0) = 1.

16. Un proceso crea una sustancia radiactiva a una velocidad de 1 g/h, y la sustancia se desintegra a una velocidad por hora igual a 1/10 de la masa presente (expresada en gramos). Suponiendo que inicialmente hay 20 g, encuentre la masa S(t) de la sustancia presente en el tiempo t, y encuentre lim_t→∞ S(t).

17. Un tanque está vacío en t = 0. Se agrega agua al tanque a una tasa de 10 gal/min, pero se filtra a una tasa (en galones por minuto) igual a la cantidad de galones en el tanque. ¿Cuál es la capacidad mínima que puede tener el tanque si este proceso continúa para siempre?

18. Una persona deposita $25,000 en un banco que paga un interés del 5% anual, con capitalización continua. La persona realiza retiros continuos de la cuenta a razón de $750 por año. Encuentre V(t), el valor de la cuenta en el tiempo t después del depósito inicial.

19. Una persona tiene una fortuna que crece a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada de su valor. Encuentre el valor W de la fortuna como una función de t si fue de $1 millón hace 6 meses y es de $4 millones hoy.

20. Sea p = p(t) la cantidad de un producto presente en el tiempo t. El producto se fabrica continuamente a un ritmo proporcional a p, con constante de proporcionalidad 1/2, y se consume continuamente a un ritmo proporcional a p², con constante de proporcionalidad 1/8. Encuentre p(t) si p(0) = 100.

21. (a) En la situación del Ejemplo 9.4.1.6, encuentre el valor exacto P(t) de la cuenta de la persona después de t años, donde t es un número entero. Suponga que cada año tiene exactamente 52 semanas e incluya el depósito de fin de año en el cálculo.

AYUDA: En el momento t, los $1000 iniciales han estado depositados durante t años. Ha habido 52t depósitos de $50 cada uno. Los primeros $50 han estado depositados por t − 1/52 años, el segundo por t − 2/52 años · · · en general, los jésimos $50 han estado depositados por t − j/52 años (1 ≤ j ≤ 52t). Encuentre el valor presente de cada depósito de $50 suponiendo un interés compuesto continuo del 6% y use la fórmula

para encontrar su valor total.

(b) Sea

el error relativo después de t años. Encontrar

22. Un comprador de vivienda pide prestados P₀ dólares a una tasa de interés anual r, acordando pagar el préstamo con pagos mensuales iguales de M dólares por mes durante N años.

(a) Deduzca una ecuación diferencial para el principal del préstamo (cantidad que debe el comprador de la vivienda) P(t) en el momento t > 0, con la suposición simplificada de que el comprador de la vivienda paga el préstamo continuamente en lugar de hacerlo en pasos discretos. (Consulte el Ejemplo 9.4.1.6).
(b) Resuelva la ecuación obtenida en (a).
(c) Utilice el resultado de (b) para determinar un valor aproximado de M suponiendo que cada año tiene exactamente 12 meses de igual duración.
(d) Se puede demostrar que el valor exacto de M viene dado por

Compare el valor de M obtenido de la respuesta en (c) con el valor exacto si

(i) P₀ = $50 000, r = 7½ %, N = 20

(ii) P₀ = $150 000, r = 9,0 %, N = 30.

23. Suponga que el comprador de vivienda del ejercicio 22 elige pagar el préstamo continuamente a razón de αM dólares por mes, donde α es una constante mayor que 1. (Esto se denomina pago acelerado.)

(a) Determine el tiempo T(α) en que se pagará el préstamo y la cantidad S(α) que ahorrará el comprador de la vivienda.
(b) Suponga que P₀ = $50 000, r = 8% y N = 15. Calcule los ahorros realizados por pagos acelerados con α = 1.05, 1.10 y 1.15.

24. Un benefactor desea establecer un fondo fiduciario para pagar el salario de un investigador durante T años. El salario debe comenzar en S₀ dólares por año y aumentar a una tasa fraccionaria de un por año. Encuentre la cantidad de dinero P₀ que el benefactor debe depositar en un fideicomiso que pague intereses a una tasa r por año. Suponga que el salario del investigador se paga continuamente, el interés se capitaliza continuamente y los aumentos salariales se otorgan continuamente.

25. (L) Una sustancia radiactiva con constante de desintegración k se produce a razón de

unidades de masa por unidad de tiempo, donde a y b son constantes positivas y Q(t) es la masa de la sustancia presente en el tiempo t; por tanto, la tasa de producción es pequeña al principio y tiende a disminuir cuando Q es grande.
(a) Establezca una ecuación diferencial para Q.
(b) Elija sus propios valores positivos para a, b, k y Q₀ = Q(0). Usa un método numérico para descubrir qué le sucede a Q(t) cuando t → ∞. (Sea preciso, exprese sus conclusiones en términos de a, b, k. Sin embargo, no se requiere prueba).

26. (L) Siga las instrucciones del ejercicio 25, suponiendo que la sustancia se produce a razón de at/(1 + bt(Q(t))²) unidades de masa por unidad de tiempo.

27. (L) Siga las instrucciones del ejercicio 25, suponiendo que la sustancia se produce a razón de at/(1 + bt) unidades de masa por unidad de tiempo.