| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.3. Métodos numéricos | 9.3.3. El Método de Runge-Kutta |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.3.3

       La mayoría de los siguientes ejercicios numéricos involucran problemas de valor inicial considerados en los ejercicios de las Secciones 9.3.2. Le resultará instructivo comparar los resultados que obtiene aquí con los resultados correspondientes que obtuvo en esas secciones.
       En los ejercicios 1 a 5, use el método de Runge-Kutta para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos xi = x₀ + ih, donde x₀ es el punto donde la condición inicial es impuesto e i = 1, 2.

6. C Use el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 3y = 7e^4x,  y(0) = 2,

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta y = e^4x +e^−3x, que puede obtenerse por el método de la Sección 9.2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.3.1.

7. C Usar el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

en x = 1,0, 1,1, 1,2, 1,3, . . . , 2.0. Compare estos valores aproximados con los valores exactos.

Solución:

que se puede obtener por el método de la Sección 9.2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.3.1.

8. C Usar el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.05, h = 0.025 y h = 0.0125 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

en x = 1,0, 1,05, 1,10, 1,15. . . , 1.5. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

que se obtuvo en el Ejemplo 9.2.2.3. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.3.1.

9. C En el Ejemplo 9.2.2.3 se demostró que

y⁵ + y = x² + x − 4

es una solución implícita del problema de valor inicial

       (A)

Utilice el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0,1, h = 0,05 y h = 0,025 para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en x = 2,0, 2,1, 2,2, 2,3, . . . , 3.0. Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

R(x, y) = y⁵ + y − x² − x + 4

para cada valor de (x, y) que aparece en la primera tabla.

10. C Puedes ver en el Ejemplo 9.2.5.1 que

x⁴y³ + x²y⁵ + 2xy = 4

es una solución implícita del problema de valor inicial

         (A)

Utilice el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0,1, h = 0,05 y h = 0,025 para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en x = 1,0, 1,1, 1,2, 1,3, . . . , 2.0. Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

R(x, y) = x⁴y³ + x²y⁵ + 2xy − 4

para cada valor de (x, y) que aparece en la primera tabla.

11. C Use el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

(3y² + 4y)y′ + 2x + cosx = 0, y(0) = 1 (Ejercicio 9.2.2.13),

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0.

12. C Use el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

  (Ejercicio 9.2.2.14),

en x = 1,0, 1,1, 1,2, 1,3, . . . , 2.0.

13. C Use el método de Runge-Kutta y el método semilineal de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 3y = e^−3x(1 − 4x + 3x² − 4x³),  y(0) = −3

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta y = −e^−3x(3 − x + 2x² − x3 + x⁴), que puede obtenerse mediante el método de la Sección 9.2.1. ¿Notas algo especial en los resultados? Explique.

      Los problemas de valores iniciales lineales de los ejercicios 14 a 19 no se pueden resolver exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio, use los métodos semilineales de Runge-Kutta y Runge-Kutta con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos equidistantes (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

(Ejercicios 9.2.1)

      En los ejercicios 20 a 22, use el método de Runge-Kutta y el método semilineal de Runge-Kutta con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos equidistantes (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

23. C Suponga que a < x₀, de modo que −x₀ < −a. Use la regla de la cadena para demostrar que si z es una solución de

z′ = −f(−x, z), z(−x₀) = y₀,

en [−x₀, −a], entonces y = z(−x) es una solución de

y′ = f(x, y),  y(x₀) = y₀,

en [a, x₀].

24. C Use el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución de

en x = 1.1, 1.2, 1.3, . . .2.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

que se puede obtener con referencia al Ejemplo 9.2.4.3.

25. C Usa el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución de

y′ = −x²y − xy²,  y(1) = 1

en x = 0, 0.1, 0.2, . . . , 1.

26. C Usa el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución de

en x = 0.5, 0.6,. . . , 1.5. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

que se puede obtener por el método discutido en la Sección 9.2.1.

27. C Usa el método de Runge-Kutta con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución de

xy′ + 2y = 8x²,  y(2) = 5

en x = 1.0, 1.1, 1.2, . . . , 3.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

que se puede obtener por el método discutido en la Sección 9.2.1.

 

28. CUADRATURA NUMÉRICA (ver Ejercicio 9.3.1.23).

(a) Derive la fórmula de cuadratura

       (A)

(donde h = (b − a)/n) aplicando el método de Runge-Kutta al problema de valor inicial

y′ = f(x),  y(a) = 0.

Esta fórmula de cuadratura se llama Regla de Simpson.

(b) L Para varias opciones de a, b, A, B, C y D aplicar (A) a f(x) = A + Bx + Cx + Dx³, con n = 10, 20, 40, 80, 160 , 320. Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encuentra.

(c) L Para varias opciones de a, b, A, B, C y D aplicar (A) a f(x) = A + Bx + Cx² + Dx³ + Ex⁴, con n = 10, 20, 40 , 80, 160, 320. Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encontró.