9. Ecuaciones diferenciales

9.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
9.2.1 Ecuaciones lineales de primer orden

EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 9.2.1

    En los ejercicios 1 a 5 encuentre la solución general.

    En los ejercicios 6 a 11 resuelva el problema de valor inicial dado.

    En los ejercicios 12 a 15 encuentre la solución general. Además, trace un campo direccional y algunas curvas integrales en la región rectangular {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}.

    En los ejercicios 16 a 24 encuentre la solución general.

    En los ejercicios 25 a 29 resuelva el problema del valor inicial y dibuje la gráfica de la solución.

Ver la solución 26 y 28

    En los ejercicios 30 a 37 resuelva el problema de valor inicial.

Ver la solución 30, 33 y 36

    En los ejercicios 38 a 42, resuelva el problema de valor inicial y deje la respuesta en una forma que implique una integral definida. (Puede resolver estos problemas numéricamente mediante los métodos discutidos en el Capítulo 9.3.)

Ver la solución 39 y 42

43. Los experimentos indican que el cuerpo absorbe la glucosa a una velocidad proporcional a la cantidad de glucosa presente en el torrente sanguíneo. Deje λ denotar la constante (positiva) de proporcionalidad. Ahora suponga que se inyecta glucosa en el torrente sanguíneo de un paciente a una velocidad constante de r unidades por unidad de tiempo. Sea G = G(t) el número de unidades en el torrente sanguíneo del paciente en el tiempo t > 0. Luego

G′ = −λG + r,

donde el primer término a la derecha se debe a la absorción de glucosa por el cuerpo del paciente y el segundo término se debe a la inyección. Determine G para t > 0, dado que G(0) = G₀. Además, encuentre limt → ∞ G(t).

Ver la solución 43

44. (a) Trace un campo direccional y algunas curvas integrales para

xy′ − 2y = −1          (A)

en la región rectangular {−1 ≤ x ≤ 1, −0.5 ≤ y ≤ 1.5}. ¿Qué tienen en común todas las curvas integrales?

(b) Muestre que la solución general de (A) en (−∞, 0) y (0, ∞) es

y = 1/2 + cx².

(c) Demuestre que y es una solución de (A) en (−∞, ∞) si y sólo si

donde c₁ y c₂ son constantes arbitrarias.

(d) Concluya de (c) que todas las soluciones de (A) en (−∞, ∞) son soluciones del problema de valor inicial

xy′ − 2y = −1, y(0) = 1/2.

(e) Use (b) para mostrar que si x₀ ≠ 0 e y₀ es arbitrario, entonces el problema de valor inicial

xy′ − 2y = −1, y(x₀) = y

tiene infinitas soluciones en (−∞, ∞). Explique por qué esto no contradice el Teorema 9.2.1.2(b).

Ver la solución 44

45. Suponga que f es una función continua en un intervalo abierto (a, b) y α es una constante.

(a) Deduzca una fórmula para la solución del problema de valor inicial

y′ + αy = f (x), y(x₀) = y₀,          (A)

donde x₀ está en (a, b) e y₀ es un número real arbitrario.

(b) Suponga que (a, b) = (a, ∞), α > 0 y limx → ∞ f (x) = L. Demuestre que si y es la solución de (A), entonces limx → ∞ y(x) = L/α.

46. Suponga que todas las funciones en este ejercicio se definen en un intervalo común (a, b).

(a) Demuestre: si y₁ e y₂ son soluciones de

y′ + p(x)y = f₁(x)

y

y′ + p(x)y = f₂(x)

respectivamente, y c₁ y c₂ son constantes, entonces y = cy₁ + cy₂ es una solución de

y′ + p(x)y = cf₁(x) + cf₂(x).

(Este es el principio de superposición).

(b) Use (a) para mostrar que si y₁ e y₂ son soluciones de la ecuación no homogénea

y′ + p(x)y = f (x),           (A)

entonces y₁ − y₂ es una solución de la ecuación homogénea

y′ + p(x)y = 0.           (B)

(c) Use (a) para mostrar que si y₁ es una solución de (A) e y₂ es una solución de (B), entonces y₁ + y₂ es una solución de (A).

47. Algunas ecuaciones no lineales se pueden transformar en ecuaciones lineales cambiando la variable dependiente. Demuestra que si

g′(y)y′ + p(x)g(y) = f (x)

donde y es una función de x y g es una función de y, entonces la nueva variable dependiente z = g(y) satisface la ecuación lineal

z′ + p(x)z = f (x).

48. Resuelva las siguientes ED por el método discutido en el ejercicio 47:

49. Hemos demostrado que si p y f son funciones continuas en (a, b), entonces cada solución de

y′ + p(x)y = f (x)          (A)

en (a, b) se puede escribir como y = uy₁, donde y₁ es una solución no trivial de la ecuación complementaria para (A) y u′ = f /y₁. Ahora supongamos que

y

son funciones continuas en (a, b), donde m es un número entero positivo, y definen

Muestre que

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