| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.11. Problemas de valores en la frontera y expansiones de Fourier | 9.11.2 Expansiones de Fourier I |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.11.2
1. Demuestre el Teorema 9.11.2.3.
En los Ejercicios 2-16 encuentre la serie de Fourier de f en [−L, L] y determine su suma para −L ≤ x ≤ L. Donde se indica por C , grafique f y
en los mismos ejes para varios valores de m.
17. L Verifique el fenómeno de Gibbs para 
18. L Verifique el fenómeno de Gibbs para 
19. Deduzca del Ejemplo 9.11.2.5 que 
20. (a) Halle la serie de Fourier de f (x) = ex en [−π, π].
(b) Deducir de (a) que 
21. Encuentra la serie de Fourier de f (x) = (x − π) cosx en [−π, π].
22. Encuentra la serie de Fourier de f (x) = (x − π) senx en [−π, π].
23. Encuentra la serie de Fourier de f (x) = sen kx (k ≠ entero) en [−π, π].
24. Encuentra la serie de Fourier de f (x) = cos kx (k ≠ entero) en [−π, π].
25. (a) Suponga que g′ es continua en [a, b] y ω ≠ 0. Use la integración por partes para mostrar que hay una constante M tal que
y 
(b) Demuestre que la conclusión de (a) también se cumple si g es uniforme por tramos en [a, b]. (Este es un caso especial del Lema de Riemann).
(c) Decimos que una secuencia 
es de orden n−k y escribimos αn = O(1/nk) si existe una constante M tal que
Sean y 
los coeficientes de Fourier de una función suave por partes. Concluya de (b) que an = O(1/n) y bn = O(1/n).
26. (a) Suponga que f (−L) = f (L), f ′(−L) = f ′(L), f ′ es continua y f ′′ es continua por tramos en [−L, L]. Utilice el Teorema 9.11.2.2 y la integración por partes para demostrar que
con
y 
(b) Demuestre que si, además de las suposiciones en (a), f ′′ es continua y f ′′′ es continua por tramos en [−L, L], entonces
27. Muestre que si f es integrable en [−L, L] y
f (x + L) = f (x), −L < x < 0
(Figura 9.11.2.8), entonces la serie de Fourier de f en [−L, L] tiene la forma
donde
y
n = 1, 2, 3, … .
Figura 9.11.2.8 y = f (x), donde f (x + L) = f (x), −L < x < 0
28. Demuestre que si f es integrable en [−L, L] y
f (x + L) = f (x), −L < x < 0
(Figura 9.11.2.9), entonces la serie de Fourier de f en [−L, L] tiene la forma
donde
y 
n = 1, 2, 3, … .
Figura 9.11.2.9 y = f (x), donde f (x + L) = −f (x), −L < x < 0
29. Suponga que φ1, φ2, . . . , φm son funciones ortogonales en [a, b] y
Si a1, a2, . . . , am son números reales arbitrarios, define
Sea
Donde
es decir, c1, c2, . . . , cm son coeficientes de Fourier de f.
(a) Demuestre que
(b) Demuestre que
con igualdad si y sólo si an = cn, n = 1, 2, . . ., m.
(c) Demuestre que
(d) Concluya de (c) que
30. Si A0, A1, . . . , Am y B1, B2, . . . , Bm son constantes arbitrarias decimos que
es un polinomio trigonométrico de grado ≤ m.
Ahora sea
Sea la serie de Fourier de una función integrable f en [−L, L], y sea
(a) Concluya del ejercicio 29(b) que
con igualdad si y sólo si An = an, n = 0, 1, . . . , m, y Bn = bn, n = 1, 2, . . . , m.
(b) Concluya del ejercicio 29(d) que
para cada m ≥ 0.
(c) Concluya de (b) que limn→∞ an = limn→∞ bn = 0.