Ejercicios propuestos para el capítulo 9.10.3

 

1.  Demuestre: Si y₁, y₂,. . . , y_n son soluciones de y′ = A(t)y en (a, b), entonces cualquier combinación lineal de y₁, y₂,. . . , y_n también es una solución de y′ = A(t)y en (a, b).

 

2.  En la sección 9.5.1, el wronskiano de dos soluciones y₁ e y₂ de la ecuación escalar de segundo orden

P₀(x)y″ + P₁(x)y′ + P₂(x)y = 0               (A)

fue definido para ser

(a) Reescriba (A) como un sistema de ecuaciones de primer orden y demuestre que W es el Wronskiano (como se define en esta sección) de dos soluciones de este sistema.
(b) Aplique la ecuación. (9.10.3.6) al sistema derivado en (a), y demuestre que

que es la forma de la fórmula de Abel dada en el Teorema 9.9.1.3.

3. En la Sección 9.1, el Wronskiano de las n soluciones y₁, y₂, . . . , y_n de la ecuación de n−ésimo orden

se definió como

(a) Reescriba (A) como un sistema de ecuaciones de primer orden y demuestre que W es el Wronskiano (como se define
en esta sección) de n soluciones de este sistema.
(b) Aplique la ecuación (10.3.6) al sistema derivado en (a), y demuestre que

que es la forma de la fórmula de Abel dada en el Teorema 9.1.3.

4. Supongamos

  y 

son soluciones del sistema 2×2  y′ = Ay en (a, b), y sea

  y 

por tanto, W es el wronskiano de {y₁, y₂}.

(a) Deducir de la definición de determinante que

(b) Utilice la ecuación Y′ = A(t)Y y la definición de multiplicación de matrices para demostrar que

[y₁₁′  y₁₂′ ] = a₁₁[y₁₁  y₁₂] + a₁₂[y₂₁  y₂₂]

y

[y₂₁′  y₂₂′ ] = a₂₁[y₁₁  y₁₂] + a₂₂[y₂₁  y₂₂]

(c) Utilice las propiedades de los determinantes para deducir de (a) y (b) que

(d) Concluya de (c) que

W′ = (a₁₁ + a₂₂)W,

y use esto para mostrar que si a < t₀ < b entonces

5. Suponga que la matriz n×n,  A = A(t), es continua en (a, b). Sea

donde las columnas de Y son soluciones de y′ = A(t)y. Sea

r_i = [y_i1 y_i2 . . . y_in]

sea la i-ésima fila de Y, y sea W el determinante de Y.

(a) Deducir de la definición de determinante que

W′ = W₁ + W₂ + · · · + W_n,

donde, para 1 ≤ m ≤ n, la i-ésima fila de W_m es r_i si i ≠ m, y r_m′ si i = m.

(b) Utilice la ecuación Y′ = AY y la definición de multiplicación de matrices para demostrar que

r′_m = a_m1r₁ + a_m2r₂ + · · · + a_mnr_n.

(c) Utilice las propiedades de los determinantes para deducir de (b) que

det(W_m) = a_mmW.

(d) Concluya de (a) y (c) que

W′ = (a₁₁ + a₂₂ + · · · + a_nn)W,

y use esto para mostrar que si a < t₀ < b entonces

6. Suponga que la matriz A de n×n es continua en (a, b) y t₀ es un punto en (a, b). Sea Y una matriz fundamental para y′ = A(t)y en (a, b).
(a) Demuestre que Y(t₀) es invertible.

(b) Demuestre que si k es un n-vector arbitrario, entonces la solución del problema de valor inicial

y′ = A(t)y,  y(t₀) = k

es

y = Y(t)Y ⁻¹(t₀)k.

7. Sea

(a) Verifique que {y₁, y₂} es un conjunto fundamental de soluciones para y′ = Ay.
(b) Resuelva el problema de valor inicial

y′ = Ay,  y(0) = k.         (A)

(c) Use el resultado del ejercicio 6(b) para encontrar una fórmula para la solución de (A) para un vector inicial arbitrario k.

8. Repita el ejercicio 7 con

9. Repita el ejercicio 7 con

10. Repita el ejercicio 7 con

11. Sea

(a) Verifique que {y₁, y₂, y₃} es un conjunto fundamental de soluciones para y′ = Ay.
(b) Resuelva el problema de valor inicial

y′ = Ay,  y(0) = k.         (A)

(c) Use el resultado del ejercicio 6(b) para encontrar una fórmula para la solución de (A) para un vector inicial arbitrario k.

12. Repita el ejercicio 11 con

13. Repita el ejercicio 11 con

14. Suponga que Y y Z son matrices fundamentales para el sistema n × n  y′ = A(t)y. Entonces algunas de las cuatro matrices Y Z⁻¹, Y ⁻¹Z, Z ⁻¹Y , ZY ⁻¹ son necesariamente constantes. Identifícalas y prueba que son constantes.

15. Suponga que las columnas de una matriz Y de n × n son soluciones del sistema de n × n  y′ = Ay y C es una matriz constante de n × n.
(a) Demuestre que la matriz Z = Y C satisface la ecuación diferencial Z′ = AZ.
(b) Demuestre que Z es una matriz fundamental para y′ = A(t)y si y sólo si C es invertible y Y es una matriz fundamental para y′ = A(t)y.

16. Suponga que la matriz n × n  A = A(t) es continua en (a, b) y t₀ está en (a, b). Para i = 1, 2, . . . , n, sea y_i la solución del problema de valor inicial y_i′ = A(t)y_i, y_i(t₀) = e_i, donde

es decir, la j-ésima componente de e_i es 1 si j = i, o 0 si j≠ i.

(a) Demuestre que {y₁, y₂, . . ., y_n} es un conjunto fundamental de soluciones de y′ = A(t)y en (a, b).
(b) Concluya de (a) y el ejercicio 15 que y′ = A(t)y tiene infinitos conjuntos fundamentales de soluciones en (a, b).

17. Muestre que Y es una matriz fundamental para el sistema y′ = A(t)y si y solo si Y ⁻¹ es una matriz fundamental para y′ = −A^T (t)y, donde A^T denota la transpuesta de A. SUGERENCIA: vea el ejercicio 11.

18. Sea Z la matriz fundamental del sistema de coeficientes constantes y′ = Ay tal que Z(0) = I.
(a) Demuestre que Z(t)Z(s) = Z(t + s) para todo s y t. AYUDA: Para s fijos, sea Γ₁(t) = Z(t)Z(s)
y Γ₂(t) = Z(t + s). Muestre que Γ₁ y Γ₂ son ambas soluciones del problema de valor inicial matricial Γ′ = AΓ, Γ(0) = Z(s). Entonces concluya del Teorema 9.10.2.1 que Γ₁ = Γ₂.
(b) Demuestre que (Z(t))⁻¹ = Z(−t).
(c) La matriz Z definida anteriormente a veces se denota por e^tA. Discuta la motivación para esta notación.