| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.1. Introducción a las ecuaciones diferenciales | 9.1.3. Campos direccionales para ecuaciones de primer orden |
Ejercicios propuestos del Capítulo 9.1.3
En los ejercicios 1 a 11 se da un campo direccional para la ecuación diferencial dada. Dibuja algunas curvas integrales.
1. Un campo direccional para la ecuación
y′ = x/y
2. Un campo direccional para la ecuación 
3. Un campo direccional para la ecuación
y′ = x²(1 + y²)
4. Un campo direccional para la ecuación
5. Un campo direccional para la ecuación
6. Un campo direccional para la ecuación
7. Un campo direccional para la ecuación
y′ = sen xy
8. Un campo direccional para la ecuación
9. Un campo direccional para la ecuación
10. Un campo direccional para la ecuación
11. Un campo direccional para la ecuación
En los ejercicios 12 a 22, construya un campo direccional y trace algunas curvas integrales en la región rectangular indicada.
12. C/G: y′ = y(y − 1); {−1 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}
13. C/G: y′ = 2 − 3xy; {−1 ≤ x ≤ 4, −4 ≤ y ≤ 4}
14. C/G: y′ = xy(y − 1); {−2 ≤ x ≤ 2, −4 ≤ y ≤ 4}
15. C/G: y′ = 3x + y; {−2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4}
16. C/G: y′ = y − x³; {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}
17. C/G: y′ = 1 − x² − y²; {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}
18. C/G: y′ = x(y² − 1); {−3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 2}
19. C/G: y′ = x/y(y² − 1); {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}
20. C/G: y′ = xy² / (y − 1); {−2 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 4}
21. C/G: y′ = x(y² − 1)/y; {−1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2}
22. C/G: y′ = − (x² + y²) / (1 − x² − y²); {−2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2}
23. L: Al renombrar adecuadamente las constantes y las variables dependientes en las ecuaciones diferenciales
(A) T′ = −k (T − Tₘ)
(B) G′ = −λG + r
discutido en la Sección 9.1.2 en relación con la ley de enfriamiento de Newton y absorción de glucosa en el cuerpo, podemos escribir ambas como
(C) y′ = −ay + b,
donde a es una constante positiva y b es una constante arbitraria. Por lo tanto, (A) tiene la forma (C) con y = T, a = k, y b = kTₘ, y (B) tiene la forma (C) con y = G, a = λ, y b = r . Encontraremos ecuaciones de la forma (C) en muchas otras aplicaciones en el Capítulo 9.2.
Elija una constante positiva a y una constante arbitraria b. Construya un campo direccional y trace algunas curvas integrales para (C) en una región rectangular de la forma
{0 ≤ t ≤ T, c ≤ y ≤ d}
del ty-plano. Varíe T, c y d hasta que descubra una propiedad común de todas las soluciones de (C).
Repita este experimento con varias opciones de a y b hasta que pueda establecer esta propiedad con precisión en términos de a y b.
24. L: Al renombrar adecuadamente las constantes y las variables dependientes en las ecuaciones diferenciales
(A) P′ = aP(1 − αP)
(B) I′ = rI (S − I)
discutido en la Sección 9.1.1 en relación con el modelo de población de Verhulst y la propagación de una epidemia, podemos escribir ambas en la forma
(C) y′ = ay − by²,
donde a y b son constantes positivas. Por lo tanto, (A) tiene la forma (C) con y = P, a = a y b = aα, y (B) tiene la forma (C) con y = I, a = rS y b = r . En el Capítulo 9.2 encontraremos ecuaciones de la forma (C) en otras aplicaciones.
(a) Elija números positivos a y b. Construya un campo direccional y trace algunas curvas integrales para (C) en una región rectangular de la forma
{0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ y ≤ d}
del ty-plano. Varíe T y d hasta que descubra una propiedad común de todas las soluciones de (C) con y(0) > 0. Repita este experimento con varias opciones de a y b hasta que pueda establecer esta propiedad con precisión en términos de a y b.
(b) Elija números positivos a y b. Construya un campo direccional y trace algunas curvas integrales para (C) en una región rectangular de la forma
{0 ≤ t ≤ T, c ≤ y ≤ 0}
del ty-plano. Varíe a, b, T y c hasta que descubra una propiedad común de todas las soluciones de (C) con y(0) < 0.
Puede verificar sus resultados más adelante haciendo el ejercicio 9.2.2_27.