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Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.3.2

       La mayoría de los siguientes ejercicios numéricos involucran problemas de valor inicial considerados en los ejercicios de la Sección 9.3.1. Le resultará instructivo comparar los resultados que obtiene aquí con los resultados correspondientes que obtuvo en la Sección 9.3.1.

      En los ejercicios 1 a 5, use el método de Euler mejorado para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos x_i = x₀ + ih, donde x₀ es el punto donde se impone la condición inicial e i = 1, 2, 3.

6. C Usar el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 3y = 7e^4x,   y(0) = 2

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta y = e^4x + e^−3x, que puede obtenerse por el método de la Sección 9.2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.2.2.

7. C Usar el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

en x = 1,0, 1,1, 1,2, 1,3, . . . , 2.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

que puede obtenerse por el método de la Sección 9.2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.2.2.

8. C Usar el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.05, h = 0.025 y h = 0.0125 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

en x = 1,0, 1,05, 1,10, 1,15, . . . , 1.5. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

obtenido en el Ejemplo 9.2.4.3. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 9.3.2.2.

9. C En el Ejemplo 9.3.2.2 se demostró que

y⁵ + y = x² + x − 4

es una solución implícita del problema de valor inicial

       (A)

Use el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en x = 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, . . . , 3.0. Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

R(x, y) = y⁵ + y − x² − x + 4

para cada valor de (x, y) que aparece en la primera tabla.

10. C Puedes ver en el Ejemplo 9.2.5.1 que

x⁴y³ + x²y⁵ + 2xy = 4

es una solución implícita del problema de valor inicial

       (A)

Utilice el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0,1, h = 0,05 y h = 0,025 para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en x = 1,0, 1,14, 1,2, 1,3, . . . , 2.0. Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

R(x, y) = x⁴y³ + x²y⁵ + 2xy − 4

para cada valor de (x, y) que aparece en la primera tabla.

11. C Usar el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

(3y2 + 4y)y′ + 2x + cosx = 0, y(0) = 1   (Ejercicio 9.2.2.13)

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0.

12. C Usar el método de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

(Ejercicio 9.2.2.14)

en x = 1,0, 1,1, 1,2, 1,3, . . . , 2.0.

13. C Usar el método de Euler mejorado y el método semilineal de Euler mejorado con tamaños de paso h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.025 para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

y′ + 3y = e^−3x(1 − 2x),  y(0) = 2,

en x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 1.0. Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta y = e^−3x(2 + x − x²), que puede obtenerse por el método de la Sección 9.2.1. ¿Notas algo especial en los resultados? Explique.

      Los problemas de valores iniciales lineales de los ejercicios 14 a 19 no se pueden resolver exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio, use los métodos semilineal de Euler mejorado y Euler mejorado con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

(Ejercicios 9.2.1)

      En los ejercicios 20 a 22, use el método de Euler mejorado y el método semilineal de Euler mejorado con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos equidistantes (incluidos los puntos finales) en el intervalo.

23. C Haz el ejercicio 7 reemplazando el “método de Euler mejorado” por el “método del punto medio”.
24. C Resuelve el ejercicio 7 reemplazando “método de Euler mejorado” por “método de Heun”.
25. C Haz el ejercicio 8 reemplazando el “método de Euler mejorado” por el “método del punto medio”.
26. C Resuelve el ejercicio 8 reemplazando “método de Euler mejorado” por “método de Heun”.
27. C Haz el ejercicio 11 reemplazando el “método de Euler mejorado” por el “método del punto medio”.

28. C Resuelve el ejercicio 11 reemplazando “método de Euler mejorado” por “método de Heun”.
29. C Resuelve el ejercicio 12 reemplazando el “método de Euler mejorado” por el “método del punto medio”.
30. C Resuelve el ejercicio 12 reemplazando “método de Euler mejorado” por “método de Heun”.

31. Muestre que si f, f_x, f_y, f_xx, f_yy y f_xy son continuas y acotadas para todo (x, y) e y es la solución del problema de valor inicial

y′ = f(x, y),  y(x₀) = y₀,

entonces y′ e y′′′ están acotados.

32. CUADRATURA NUMÉRICA (ver Ejercicio 9.3.1.23).

(a) Deduzca la fórmula de cuadratura

  (donde h = (b − a)/n)        (A)

aplicando el método de Euler mejorado al problema de valor inicial

y′ = f(x),  y(a) = 0.

(b) La fórmula de cuadratura (A) se llama la regla trapezoidal. Dibuja una figura que justifique esta terminología.

(c) L Para varias opciones de a, b, A y B, aplique (A) a f(x) = A + Bx, con n = 10, 20, 40, 80, 160, 320. Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encontró.

(d) L Para varias opciones de a, b, A, B y C, aplique (A) a f(x) = A + Bx + Cx², con n = 10, 20, 40, 80, 160, 320. Compare sus resultados con las respuestas exactas y explique lo que encontró.