| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | 10.1 Vectores en el plano |

       Hemos encontrado las componentes de un vector dados sus puntos iniciales y terminales. En algunos casos, solo podemos tener la magnitud y la dirección de un vector, no los puntos. Para estos vectores, podemos identificar las componentes horizontal y vertical usando trigonometría (Figura 10.1_8).

(Figura 10.1_8 Los componentes de un vector forman los catetos de un triángulo rectángulo, con el vector como hipotenusa.)

Considere el ángulo θ formado por el vector v y el semieje x positivo. Podemos ver desde el triángulo que las componentes del vector v son ⟨∥v∥cosθ, ∥v∥senθ⟩. Por lo tanto, dado un ángulo y la magnitud de un vector, podemos usar el coseno y el seno del ángulo para encontrar las componentes del vector.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_6. Encontrar la forma componente de un vector usando trigonometría

Encuentre la forma componente de un vector con magnitud 4 que forma un ángulo de – 45° con el eje x.

Solución:

Si x e y representan los componentes del vector (Figura 10.1_9). Entonces x = 4cos (−45 °) = 2√2  e  y = 4sen (−45°) = −2√2.  De tal manera que la forma componente del vector es ⟨2√2,  −2√2⟩.

(Figura 10.1_9 Use razones trigonométricas, x = ∥v∥cosθ e y = ∥v∥senθ, para identificar los componentes del vector.)

Ejercicio de control 10.1_7

Encuentre la forma componente del vector v con magnitud 10 que forma un ángulo de 120 ° con el eje x positivo.

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud 1. Para cualquier vector v, distinto de cero, podemos usar la multiplicación escalar para encontrar un vector unitario u que tenga la misma dirección que v. Para hacer esto, multiplicamos el vector por el recíproco de su magnitud:

Recuerde que cuando definimos la multiplicación escalar, notamos que ∥kv∥ = | k |⋅∥v∥.

Decimos que u es el vector unitario en la dirección de v (Figura 10.1_10). El proceso de usar la multiplicación escalar para encontrar un vector unitario con una dirección dada se llama normalización.

Figura 10.1_10 El vector v y el vector unitario asociado u = (1/∥v∥)⋅v. En este caso, ∥v∥ > 1.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_7. Encontrar un vector unitario

Sea v = ⟨1, 2⟩.

a) Encuentre un vector unitario con la misma dirección que v.

b) Encuentre un vector w con la misma dirección que v tal que ∥w∥ = 7.

Solución:

a) Primero, encuentre la magnitud de v, luego divida los componentes de v por la magnitud:

b) El vector u está en la misma dirección que v y ∥u∥ = 1. Use la multiplicación escalar para aumentar la longitud de u sin cambiar de dirección:

Ejercicio de control 10.1_8

Sea v = ⟨9, 2⟩. Encuentre un vector con magnitud 5 en la dirección opuesta a v.

       Hemos visto lo conveniente que puede ser escribir un vector en forma de componente. Sin embargo, a veces es más conveniente escribir un vector como la suma de un vector horizontal y un vector vertical. Para facilitar esto, veamos los vectores unitarios estándar. Los vectores unitarios estándar son los vectores i = ⟨1, 0⟩  y  j = ⟨0, 1⟩ (Figura 10.1_11).

Figura 10.1_11 Los vectores unitarios estándar i y j.

Al aplicar las propiedades de los vectores, es posible expresar cualquier vector en términos de i y j en lo que llamamos una combinación lineal:

v = ⟨x, y⟩ = ⟨x, 0⟩ + ⟨0, y⟩ = x⟨1, 0⟩ + y⟨0, 1⟩ = xi + yj

Por lo tanto, v es la suma de un vector horizontal con magnitud x, y un vector vertical con magnitud y, como en la siguiente figura:

Figura 10.1_11 El vector v es la suma de xi e yj.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_8. Usando vectores unitarios estándar

a) Exprese el vector w = ⟨3, −4⟩ en términos de vectores unitarios estándar.

b) El vector u es un vector unitario que forma un ángulo de 60° con el eje x. Use vectores unitarios estándar para describir u.

Solución:

a) Resuelva el vector w en un vector con un componente y cero y un vector con un componente x cero:

w = ⟨3, −4⟩ = 3i − 4j.

b) Como u es un vector unitario, el punto terminal se encuentra en el círculo unitario cuando el vector se coloca en la posición estándar (Figura 10.1_12).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-79.png

Figura 10.1_12 El punto terminal de u se encuentra en el círculo unitario (cosθ, senθ).

Ejercicio de control 10.1_9

Sea a = ⟨16, −11⟩ y sea b un vector unitario que forma un ángulo de 225° con el eje x positivo. Exprese a y b en términos de los vectores unitarios estándar.

Aplicaciones de los vectores

Debido a que los vectores tienen dirección y magnitud, son herramientas valiosas para resolver problemas que involucran aplicaciones tales como movimiento y fuerza.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_9. Hallando una fuerza resultante

El auto de Jane está atrapado en el barro. Lisa y Jed vienen en un camión para ayudar a sacarlo. Atan un extremo de una correa de remolque a la parte delantera del automóvil y el otro extremo al enganche de remolque del camión, y el camión comienza a tirar. Mientras tanto, Jane y Jed se ponen detrás del auto y empujan. El camión genera una fuerza horizontal de 300 lb sobre el automóvil. Jane y Jed empujan ligeramente hacia arriba y generan una fuerza de 150 lb sobre el automóvil. Estas fuerzas pueden representarse mediante vectores, como se muestra en la figura 10.1_12. El ángulo entre estos vectores es de 15°. Encuentre la fuerza resultante (la suma de los vectores: vector suma) y dé su magnitud a la décima de libra más cercana y su ángulo de dirección desde el eje x positivo.

Figura 10.1_12 Dos fuerzas que actúan sobre un automóvil en diferentes direcciones.

Solución:

Para encontrar el efecto de combinar las dos fuerzas, sume sus vectores representativos. Primero, exprese cada vector en forma de componente o en términos de los vectores unitarios estándar. Para este propósito, es más fácil si alineamos uno de los vectores con el eje x positivo. El vector horizontal, entonces, tiene un punto inicial (0, 0) y un punto terminal (300, 0). Se puede expresar como ⟨300, 0⟩ o 300i.

El segundo vector tiene una magnitud 150 y forma un ángulo de 15° con el primero, por lo que podemos expresarlo como ⟨150cos(15°), 150sen(15°)⟩ o 150cos(15°)i + 150sen(15°)j. Entonces, la suma de los vectores, o vector resultante, es r = ⟨300, 0⟩ + ⟨150cos(15°), 150sen(15°)⟩, y tenemos

El ángulo θ formado por r y el eje x positivo está dado por

entonces θ ≈ arctan (0.09) ≈ 5°, lo que significa que la fuerza resultante r tiene un ángulo de 5° sobre el eje horizontal.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_10. Hallando la velocidad resultante

Un avión vuela hacia el oeste a una velocidad de 425 mph. El viento sopla del noreste a 40 mph. ¿Cuál es la velocidad de avance del avión? ¿Cuál es el rumbo del avión?

Solución:

Comencemos dibujando la situación descrita (Figura 10.1_13).

Figura 10.1_13  Inicialmente, el avión viaja hacia el oeste. El viento es del noreste, por lo que sopla hacia el suroeste. El ángulo entre el rumbo del avión y el viento es de 45°. (Figura no dibujada a escala).

Configure un boceto para que los puntos iniciales de los vectores se encuentren en el origen. Entonces, el vector de velocidad del avión es p = −425i. El vector que describe el viento forma un ángulo de 225° con el eje x positivo:

Cuando la velocidad del aire y el viento actúan juntos en el avión, podemos agregar sus vectores para encontrar la fuerza resultante:

La magnitud del vector resultante muestra el efecto del viento sobre la velocidad de avance del avión:

Como resultado del viento, el avión viaja a aproximadamente 454 mph en relación con el suelo.

Para determinar el rumbo del avión, queremos encontrar la dirección del vector p + w:

La dirección general del avión es 3.57° al sur del oeste (suroeste).

Ejercicio de control 10.1_10

Un avión vuela hacia el norte a una velocidad de 550 mph. El viento sopla del noroeste a 50 mph. ¿Cuál es la velocidad respecto al suelo del avión?

2 comentarios en “Vectores en el plano”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *