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Componentes de un vector

       Trabajar con vectores en un plano es más fácil cuando estamos trabajando en un sistema de coordenadas. Cuando los puntos iniciales y los puntos terminales de los vectores se dan en coordenadas cartesianas, los cálculos se vuelven sencillos.

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_3. Comparación de vectores

¿Son v y w vectores equivalentes?

a)  v tiene un punto inicial (3, 2) y un punto terminal (7, 2)

     w tiene un punto inicial (1, −4) y un punto terminal (1, 0)

b)  v tiene un punto inicial (0, 0) y un punto terminal (1, 1)

     w tiene un punto inicial (−2, 2) y un punto terminal (−1, 3)

Solución:

a

Los vectores tienen cada uno 4 unidades de largo, pero están orientados en diferentes direcciones. Entonces v y w no son equivalentes

b

Basados en la figura, y usando un poco de geometría, está claro que estos vectores tienen la misma longitud y la misma dirección, por lo que v y w son equivalentes.

Ejercicio de control 10.1_3

¿Cuáles de los siguientes vectores son equivalentes?

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-77.png

       Hemos visto cómo trazar un vector cuando se nos da un punto inicial y un punto terminal. Sin embargo, debido a que un vector se puede colocar en cualquier lugar del plano, puede ser más fácil realizar cálculos con un vector cuando su punto inicial coincide con el origen. Llamamos a un vector con su punto inicial en el origen un vector de posición estándar. Dado que se sabe que el punto inicial de cualquier vector en posición estándar es (0, 0), podemos describir el vector mirando las coordenadas de su punto terminal. Por lo tanto, si el vector v tiene su punto inicial en el origen y su punto terminal en (x, y), escribimos el vector en forma de componente como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-110.png.

Cuando un vector se escribe en forma de componente como este, los escalares x e y se denominan componentes de v.

DEFINICIÓN 10.1.5. Componentes de un vector

El vector v con el punto inicial (0, 0) y el punto terminal (x, y) se puede escribir en forma de componente como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-111.png.

Los escalares x e y se denominan los componentes de v.

       Recuerde que los vectores se nombran con letras minúsculas en negrita o dibujando una flecha sobre su nombre. También hemos aprendido que podemos nombrar un vector por su forma de componente, con las coordenadas de su punto terminal entre paréntesis angulares. Sin embargo, al escribir la forma componente de un vector, es importante distinguir entre Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-113.png y (x, y). El primer par ordenado usa corchetes angulares para describir un vector, mientras que el segundo usa paréntesis para describir un punto en un plano. El punto inicial de Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-113.png es (0, 0); El punto terminal de Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-113.png es (x, y).

       Cuando tenemos un vector que aún no está en posición estándar, podemos determinar su forma componente de una de dos maneras. Podemos usar un enfoque geométrico, en el que dibujamos el vector en el plano de coordenadas, y luego dibujamos un vector de posición estándar equivalente. Alternativamente, podemos encontrarlo algebraicamente, usando las coordenadas del punto inicial y el punto terminal. Para encontrarlo algebraicamente, restamos la coordenada x del punto inicial de la coordenada x del punto terminal para obtener el componente x, y restamos la coordenada y del punto inicial de la coordenada y del punto terminal para obtener el componente y.

REGLA: FORMA COMPONENTE DE UN VECTOR

 

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_4. Expresando vectores en forma de componente

Exprese el vector v con el punto inicial (−3, 4) y el punto terminal (1, 2) en forma de componente.

Solución:

a) Procedimiento geométrico

1) Dibuje el vector en el plano de coordenadas (Figura 10.1_5).

2) El punto terminal está 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo desde el punto inicial.

3) Encuentre el punto que está 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo desde el origen.

4) En posición estándar, este vector tiene un punto inicial (0, 0) y un punto terminal (4, −2):

v = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-114.png.

(Figura 10.1_5 Estos vectores son equivalentes.)

b) Procedimiento Algebraico

En la primera solución, usamos un boceto del vector para ver que el punto terminal se encuentra 4 unidades a la derecha. Podemos lograr esto algebraicamente encontrando la diferencia de las coordenadas x:

Del mismo modo, la diferencia de las coordenadas y muestra la longitud vertical del vector:

Entonces, en forma de componente,

Ejercicio de control 10.1_4

El vector w tiene un punto inicial (−4, −5) y un punto terminal (−1, 2). Exprese w en forma de componente.

       Para encontrar la magnitud de un vector, calculamos la distancia entre su punto inicial y su punto terminal. La magnitud del vector v = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-115.pngse denota ||v||, o |v|, y se puede calcular utilizando la fórmula

Tenga en cuenta que debido a que este vector está escrito en forma de componente, es equivalente a un vector en posición estándar, con su punto inicial en el punto de origen y terminal (x, y). Por lo tanto, es suficiente calcular la magnitud del vector en posición estándar. Usando la fórmula de la distancia para calcular la distancia entre el punto inicial (0, 0) y el punto terminal (x, y), tenemos

Con base en esta fórmula, está claro que para cualquier vector v, ||v|| ≥ 0 y ∥v∥ = 0 si y sólo si v = 0.

La magnitud de un vector también se puede deducir usando el teorema de Pitágoras, como en la siguiente figura:

Figura 10.1_6 Si se usan los componentes de un vector para definir un triángulo rectángulo, la magnitud del vector es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

       Hemos definido la multiplicación escalar y la suma de vectores geométricamente. La expresión de vectores en forma de componentes nos permite realizar estas mismas operaciones algebraicamente.

DEFINICIÓN 10.1.6. Dos operaciones básicas con vectores

Sean v = ⟨x₁, y₁⟩  y  w = ⟨x₂, y₂⟩ dos vectores, y sea k un escalar.

Multiplicación escalar:  k v = ⟨k x₁, k y₁⟩

Suma de vectores:  v + w = ⟨x₁, y₁⟩ + ⟨x₂, y₂⟩= ⟨x₁ + x₂, y₁ + y₂⟩

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.1_5. Realizar operaciones en forma de componente

Sea v el vector con el punto inicial (2, 5) y el punto terminal (8, 13), y sea w = ⟨− 2, 4⟩.

a) Exprese v en forma de componente y encuentre ∥v∥. Luego, usando álgebra, encuentre

b) v + w,

c) 3v,

d) v − 2w.

Solución:

a) Para colocar el punto inicial de v en el origen, debemos trasladar el vector 2 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia abajo (Figura 10.1_7). Usando el método algebraico, podemos expresar v como v = ⟨8 − 2, 13 − 5⟩ = ⟨6, 8⟩:

Figura 10.1_7 En forma de componente, v = ⟨6, 8⟩.

b) Para encontrar v + w, agregue los componentes x y los componentes y por separado:

v + w = ⟨6, 8⟩ + ⟨− 2, 4⟩ = ⟨4, 12⟩.

c) Para encontrar 3v, multiplique v por el escalar k = 3:

3v = 3⋅⟨6, 8⟩ = ⟨3⋅6, 3⋅8⟩ = ⟨18, 24⟩.

d) Para encontrar v − 2w, busque −2w y agréguelo a v:

v − 2w = ⟨6, 8⟩ − 2⋅⟨ − 2, 4⟩ = ⟨6, 8⟩ + ⟨4, −8⟩ = ⟨10, 0⟩.

Ejercicio de control 10.1_5

Sea a = ⟨7, 1⟩ y sea b el vector con el punto inicial (3, 2) y el punto terminal (−1, −1).

  1. Encuentra ∥a∥.
  2. Exprese b en forma de componente.
  3. Calcula 3a − 4b.

       Ahora que hemos establecido las reglas básicas de la aritmética vectorial, podemos dar las propiedades de las operaciones vectoriales. Probaremos dos de estas propiedades. Las otras pueden ser probadas de manera similar.

TEOREMA 10.1.1. Propiedades de las operaciones vectoriales

Sean u, v y w vectores en el plano. Sean r y s escalares.

i. u + v = v + u Propiedad conmutativa
ii.
(u + v) + w = u + (v + w) Propiedad asociativa
iii. u + 0 = u Propiedad de la identidad aditiva
iv. u + (− u) = 0 Propiedad aditiva inversa
v. r (su) = (rs)u Asociatividad de la multiplicación escalar
vi. (r + s)u = ru + su Propiedad distributiva
vii. r (u + v) = ru + rv Propiedad distributiva
viii. 1u = u, 0u = 0 Identidad y propiedad cero

Prueba de la propiedad conmutativa

Sea u = ⟨x₁, y₁⟩  y  v = ⟨x₂, y₂⟩. Aplicamos la propiedad conmutativa para números reales:

u + v = ⟨x₁ + x₂, y₁ + y₂⟩ = ⟨x₂ + x₁ + , y₂ + y₁⟩ = v + u.

 

Prueba de la propiedad distributiva
Aplicamos la propiedad distributiva para números reales:

Ejercicio de control 10.1_6

Demuestre la propiedad inversa aditiva.

2 comentarios en “Vectores en el plano”

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