3.4 Las Derivadas como Tasas de Cambio

Objetivos de aprendizaje:

3.4.1. Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.
3.4.2. Calcular la tasa de cambio promedio y comprender cómo difiere de la tasa de cambio instantánea.
3.4.3. Aplicar tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve en línea recta.
3.4.4 Predecir la población futura a partir del valor presente y la tasa de crecimiento de la población.
3.4.5. Usar derivadas para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación comercial.

    En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada enfocándonos en la interpretación de la derivada como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen aceleración y velocidad en física, tasas de crecimiento de la población en biología y funciones marginales en economía.

Cantidad de cambio de una función

Una aplicación de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto mediante el uso de un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en ese punto.

Si f (x) es una función definida en un intervalo cerrado [a, a + h], entonces la cantidad de cambio de f (x) durante el intervalo es el cambio en los valores de la variable y de la función durante ese intervalo y está dada por

f (a + h) − f (a).

La tasa de cambio promedio de la función f durante ese mismo intervalo es la razón entre la cantidad de cambio de la función durante ese intervalo cerrado [a, a + h] y el cambio correspondiente en los valores de la variable independiente x. Esto es, la tasa de cambio promedio de una función f está dada por

Como ya sabemos, la tasa de cambio instantánea de f (x) en a es su derivada 

Para valores suficientemente pequeños de h, f ′(a)  ≈ [f (a + h) − f (a)]/h. Luego podemos despejar f (a + h) para obtener una estimación del nuevo valor de la función  para un incremento dado en la variable independiente:

Podemos usar esta fórmula si solo conocemos f (a) y f ′(a) y deseamos estimar el valor de f (a + h). Por ejemplo, podemos usar la población actual de una ciudad y la tasa a la que está creciendo para estimar su población en el futuro cercano. Como podemos ver en la Figura 3.4_1, estamos aproximando f (a + h) por la coordenada y en a + h en la recta tangente a f (x) en x = a. Observe que la precisión de esta estimación depende del valor de h, así como del valor de f ′ (a).

Ejemplo ilustrativo 3.4_1. Estimando el valor de una función

Si f (3) = 2 y f ′(3) = 5, estimar f (3.2).

Solución:

Comience por encontrar h. Tenemos que h = 3.2 − 3 = 0.2. Así,

◊

Movimiento a lo largo de una recta

Otro uso de la derivada es analizar el movimiento de una partícula a lo largo de una recta. Hemos descrito la velocidad como la tasa de cambio de la posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante introducir la idea de rapidez, que es la magnitud de la velocidad. Por lo tanto, podemos establecer las siguientes definiciones matemáticas.

DEFINICIÓN. Velocidad, rapidez y aceleración

Sea s(t) una función que proporciona la posición de un objeto en el tiempo t : La velocidad del objeto en el tiempo t viene dada por v(t) = s′(t). La rapidez del objeto en el tiempo t viene dada por |v(t)|. La aceleración del objeto en t viene dada por a(t) = v′(t) = s″(t).

Ejemplo ilustrativo 3.4_2. Comparación de velocidad instantánea y velocidad media

Se deja caer una pelota desde una altura de 64 pies. Su altura sobre el suelo (en pies) t segundos después viene dada por s(t) = – 16t² + 64.

a. ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando toca el suelo?
b. ¿Cuál es la velocidad promedio durante su caída?

Solución:
Lo primero que debe hacer es determinar cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo. Para hacer esto, establezca s(t) = 0. Resolviendo −16t² + 64 = 0, obtenemos t = 2, por lo que la pelota tarda 2 segundos en llegar al suelo.

a. La velocidad instantánea de la pelota cuando golpea el suelo es v(2). Como v(t) = s′(t) = – 32t, obtenemos v(t) = – 64 pies/s.
b. La velocidad promedio de la pelota durante su caída es

Ejemplo ilustrativo 3.4_3. Interpretación de la relación entre velocidad y aceleración

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en la dirección positiva hacia la derecha. Su posición en el tiempo t viene dada por s(t) = t³ −4t + 2. Encuentre v(1) y a(1) y use estos valores para responder las siguientes preguntas.
a. ¿Se mueve la partícula de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en el tiempo t = 1?
b. ¿Se está acelerando o desacelerando la partícula en el tiempo t = 1?

Solución:

Comience por encontrar v(t) y a(t).
v(t) = s′(t) = 3t² − 4 y a(t) = v(t) = s″(t) = 6t.
Al evaluar estas funciones en t = 1, obtenemos v(1) = – 1 y a(1) = 6.
a. Como v (1) < 0, la partícula se mueve de derecha a izquierda.
b. Como v(1) < 0 y a(1) > 0, la velocidad y la aceleración están actuando en direcciones opuestas. En otras palabras, la partícula se acelera en la dirección opuesta a la dirección en la que viaja, provocando que la rapidez|v (t)| disminuya. La partícula se está desacelerando. ◊

Ejemplo ilustrativo 3.4_4. Posición y velocidad

La posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas viene dada por s(t) = t³ − 9t² + 24t + 4, t ≥ 0.
a. Encuentra v(t).
b. ¿A qué hora (s) está la partícula en reposo?
c. ¿En qué intervalos de tiempo se mueve la partícula de izquierda a derecha? ¿De derecha a izquierda?
d. Utilice la información obtenida para dibujar la ruta de la partícula a lo largo de un eje de coordenadas.

Solución:
a. La velocidad es la derivada de la función de posición:

b. La partícula está en reposo cuando v(t) = 0, así que establezca 3t² − 18t + 24 = 0. Factorizar el lado izquierdo de la ecuación produce 3(t − 2)(t − 4) = 0. Resolviendo, encontramos que la partícula está en reposo en t = 2 y t = 4.

c. La partícula se mueve de izquierda a derecha cuando v(t) > 0 y de derecha a izquierda cuando v(t) < 0. La figura 3.4_2 proporciona el análisis del signo de v(t) para t ≥ 0, pero no representa el eje a lo largo del cual se mueve la partícula.

Como 3t² − 18t + 24 > 0 en [0, 2) ∪ (2, + ∞), la partícula se mueve de izquierda a derecha en estos intervalos.
Como 3t² − 18t + 24 < 0 en (2, 4), la partícula se mueve de derecha a izquierda en este intervalo.

d. Antes de que podamos dibujar la gráfica del movimiento de la partícula, necesitamos saber su posición en el momento en que comienza a moverse (t = 0) y en los momentos en que cambia de dirección (t = 2,4). Tenemos s(0) = 4, s(2) = 24 y s(4) = 20. Esto significa que la partícula comienza en el eje de coordenadas en 4 y cambia de dirección en 0 y 20 en el eje de coordenadas. La trayectoria de la partícula se muestra en un eje de coordenadas en la figura 3.4_3.