| 7. Sucesiones y series infinitas | 7.3 Pruebas de la divergencia y de la integral |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 7.3

Para cada una de las siguientes series, si la prueba de la divergencia es aplicable, indique que \( \lim_{n \to \infty} \mathit{a}_n \) no existe o encuentre \( \lim_{n \to \infty} \mathit{a}_n \). Si la prueba de divergencia no es aplicable, indique por qué:

138. \( \, a_n = \frac{\displaystyle \mathit{n}}{\displaystyle \mathit{n} + 2} \) 139. \( \, a_n = \frac{\displaystyle \mathit{n}^5}{\displaystyle \mathit{n}^2 – 3} \) 140. \( \, a_n = \frac{\displaystyle \mathit{n}^3}{\sqrt{\displaystyle 3\mathit{n}^2 + 2\mathit{n} + 1}} \) 141. \( \, a_n = \frac{\displaystyle (2\mathit{n} + 1)(\mathit{n} \, – \, 1)}{\displaystyle (\mathit{n} + 1)^2} \) 142. \( \, a_n = \frac{\displaystyle (2\mathit{n} + 1)^{2\mathit{n}}}{\displaystyle (3\mathit{n}^2 + 1)^{\mathit{n}}} \) 143. \( \, a_n = \frac{\displaystyle 2^{\mathit{n}}}{\displaystyle 3^{n/2}} \) 144. \( \, a_n = \frac{\displaystyle 2^{\mathit{n}} + 3^{\mathit{n}}}{\displaystyle 10^{\mathit{n}/2}} \) 145. \( \, a_n = e^{-\tfrac{2}{\mathit{n}}} \) 146. \( \, a_n = \cos{\mathit{n}} \) 147. \( \, a_n = \tan{\mathit{n}} \) 148. \( \, a_n = \frac{\displaystyle 1 \, – \, \cos^2{\left(1 / \mathit{n}\right)}}{\displaystyle \text{sen}^2{\left(2 / \mathit{n}\right)}} \) 149. \( \, a_n = \left( 1 \; – \; \frac{1}{\mathit{n}} \right)^{\scriptstyle 2\mathit{n}} \) 150. \( \, a_n = \frac{\displaystyle \ln{\mathit{n}}}{\displaystyle \mathit{n}} \) 151. \( \, a_n = \frac{\displaystyle (\ln{\mathit{n}})^{2\mathit{n}}}{\displaystyle \sqrt{\mathit{n}}} \)

      Indique si la serie p dada converge:

152. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \) 153. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{n \sqrt{n}} \) 154. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \) 155. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}} \) 156. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{n^e}{n^{\pi}} \) 157. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{n^\pi}{n^{2e}} \)

      Use la prueba de la integral para determinar si las siguientes sumas convergen:

158. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+5}} \) 159. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{n+5}} \) 160. \(\, \sum\limits_{n=2}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{n \ln n} \) 161. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{n}{1+n^2} \) 162. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{e^n}{1+e^{2n}} \) 163. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{2n}{1+n^4} \) 164. \(\, \sum\limits_{n=2}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{n \ln^2n} \)

      Exprese las siguientes sumas como series p y determine si cada una converge:

165. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^{-\ln{n}} \quad \text{(Pista:} \, 2^{-\ln{n}} = 1 / n^{\ln{2}} \text{)}\) 166. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3^{-\ln{n}} \quad \text{(Pista:} \, 3^{-\ln{n}} = 1 / n^{\ln{3}} \text{)}\) 167. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} n2^{-2\ln{n}} \) 168. \(\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} n3^{-2\ln{n}} \)

Use la estimación \( R_N \leq \int_{N}^{\infty} f(t) \, dt \) para encontrar una cota para el residuo \( R_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n – \sum_{n=1}^{N} a_n \), donde \( a_n = f(n) \):

169. \(\, \sum\limits_{n=1}^{1000} \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^2} \) 170. \(\, \sum\limits_{n=1}^{1000} \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^3} \) 171. \(\, \sum\limits_{n=1}^{1000} \displaystyle \frac{1}{1 + \mathit{n}^2} \) 172. \(\, \sum\limits_{n=1}^{100} \displaystyle \frac{\mathit{n}}{2^{\mathit{n}}} \)

[T] Determine el valor mínimo de \( N \) tal que la estimación del residuo \( \int_{N+1}^{\infty} f(t) \, dt < R_N < \int_{N}^{\infty} f(t) \, dt \) garantice que la suma \( \sum\limits_{n=1}^{N} a_n \) estime \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) con una precisión dentro del error dado, donde \( R_N = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n - \sum\limits_{n=1}^{N} a_n \). \( N \) debe ser lo suficientemente grande para que el residuo \( R_N \) esté dentro del error especificado:

173. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n^2}, \quad \text{error} < 10^{-4} \) 174. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n^{1.1}}, \quad \text{error} < 10^{-4} \) 175. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n^{1.01}}, \quad \text{error} < 10^{-4} \) 176. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{n \ln^2{n}}, \quad \text{error} < 10^{-3} \) 177. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{1 + n^2}, \quad \text{error} < 10^{-3} \)

En los siguientes ejercicios, encuentra un valor de \( N \) tal que \( R_N \) sea menor que el error deseado. Calcula la suma correspondiente \( \sum_{n=1}^{N} a_n \) y compárala con la estimación dada de la serie infinita:

178. \(\, a_n = \displaystyle \frac{1}{n^{11}}, \, \text{error} < 10^{-4}, \, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{n^{11}} = 1.000494 \dots \) 179. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{e^n}, \quad \text{error} < 10^{-5}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{e^n} = \frac{1}{e - 1} = 0.581976 \ldots \) 180. \( a_n = \displaystyle \frac{\mathit{n}}{e^{\mathit{n}^2}}, \quad \text{error} < 10^{-5}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{\mathit{n}}{e^{\mathit{n}^2}} = 0.40488139857 \ldots \) 181. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^4}, \quad \text{error} < 10^{-4}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^4} = \frac{\pi^4}{90} = 1.08232 \ldots \) 182. \( a_n = \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^6}, \quad \text{error} < 10^{-6}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}^6} = \frac{\pi^6}{945} = 1.01734306 \ldots \) 183. Encuentra el límite cuando \( \mathit{n} \to \infty \) de \( \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}} + \frac{1}{\mathit{n} + 1} + \dots + \frac{1}{2\mathit{n}} \). \( \text{(Pista: Compare con } \displaystyle \int_{\mathit{n}}^{2\mathit{n}} \frac{1}{\mathit{t}} \, d\mathit{t} \text{.)} \) 184. Encuentra el límite cuando \( \mathit{n} \to \infty \) de \( \displaystyle \frac{1}{\mathit{n}} + \frac{1}{\mathit{n} + 1} + \dots + \frac{1}{3\mathit{n}} \).

       Los siguientes ejercicios están diseñados para dar una idea de las aplicaciones en las que surgen las sumas parciales de la serie armónica:

185. En ciertas aplicaciones de probabilidad, como el llamado estimador de Watterson para predecir tasas de mutación en genética de poblaciones, es importante tener una estimación precisa del número \( H_k = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right) \). Recuerde que \( T_k = H_k – \ln{k} \) es decreciente. Calcule \( T = \lim\limits_{k \to \infty} T_k \) con cuatro decimales. (Pista: \( \frac{1}{k+1} < \int_{k+1}^{k} \frac{1}{x} \, dx \).) 186. [T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado el problema del coleccionista de cupones, se plantea de la siguiente manera: Suponga que tiene \( N \) elementos únicos en una urna. En cada paso, se elige un elemento al azar, se identifica y se vuelve a colocar en la urna. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos \( E(N) \) necesarios para obtener cada elemento único al menos una vez. Resulta que \( E(N) = N \cdot H_N = N \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N} \right) \). Encuentre \( E(N) \) para \( N = 10, 20 \) y \( 50 \). 187. [T] La forma más simple de barajar cartas es tomar la carta superior e insertarla en una posición aleatoria dentro de la baraja, lo que se llama inserción aleatoria desde la parte superior, y luego repetir. Consideraremos que una baraja está aleatoriamente barajada una vez que se han realizado suficientes inserciones aleatorias desde la parte superior para que la carta que originalmente estaba en la parte inferior haya llegado a la parte superior y luego haya sido insertada aleatoriamente. Si la baraja tiene \( n \) cartas, entonces la probabilidad de que la inserción se realice por debajo de la carta que originalmente estaba en la parte inferior (llamémosla carta \( B \)) es \( \frac{1}{n} \). Por lo tanto, el número esperado de inserciones aleatorias desde la parte superior antes de que \( B \) deje de estar en la parte inferior es \( n \). Una vez que una carta está por debajo de \( B \), hay dos lugares debajo de \( B \) y la probabilidad de que una carta insertada aleatoriamente caiga debajo de \( B \) es \( \frac{2}{n} \). El número esperado de inserciones aleatorias desde la parte superior antes de que esto suceda es \( \frac{n}{2} \). Las dos cartas debajo de \( B \) ahora están en orden aleatorio. Continuando de esta manera, encuentre una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias desde la parte superior necesarias para considerar que la baraja está aleatoriamente barajada. 188. Supongamos que un scooter puede recorrer 100 km con un tanque lleno de combustible. Suponiendo que el combustible puede ser transferido de un scooter a otro, pero solo se puede llevar en el tanque, presente un procedimiento que permita que uno de los scooters recorra \( 100H_N \) km, donde \( H_N = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N} \).

Nota: H_N se refiere al N-ésimo número armónico, que es la suma de los recíprocos de los primeros N números naturales.

189. Demuestre que para que la estimación del residuo sea aplicable en \([N, \infty)\), es suficiente que \( f(x) \) sea decreciente en \([N, \infty)\), pero \( f \) no necesita ser decreciente en \([1, \infty)\). 190. [T] Use la estimación del residuo y la integración por partes para aproximar \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle \frac{\mathit{n}}{e^{\mathit{n}}} \) dentro de un error menor que \( 0.0001 \). 191. ¿Converge \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} \displaystyle \frac{1}{n (\ln n)^p} \) si \( p \) es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para qué \( p \)? 192. [T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente \( \sum\limits_{n=1}^{N} \displaystyle \frac{1}{n} \). Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tomará sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100. 193. [T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente \( \sum\limits_{n=2}^{N} \displaystyle \frac{1}{n \ln{n}} \). Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tomará sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100.