| 5.6 Integrales que implican funciones exponenciales y logarítmicas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.6

      En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida:

320. \(\int e^{2x} dx\)

321. \(\int e^{-3x} dx\)

322. \(\int 2^x dx\)

323. \(\int 3^{-x} dx\)

324. \(\int \frac{1}{2x} dx\)

325. \(\int \frac{2}{x} dx\)

326. \(\int \frac{1}{x^2} dx\)

327. \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)

      En los siguientes ejercicios, encuentre cada integral indefinida usando sustituciones apropiadas:

328. \(\int \frac{\ln x}{x} dx\)

329. \(\int \frac{dx}{x (\ln x)^2}\)

330. \(\int \frac{dx}{x \ln x} \; (x > 1)\)

331. \(\int \frac{dx}{x \ln x \ln(\ln x)}\)

332. \(\int \tan \theta \; d\theta\)

333. \(\int \frac{\cos x – x \sin x}{x \cos x} dx\)

334. \(\int \frac{\ln(\sin x)}{\tan x} dx\)

335. \(\int \ln(\cos x) \tan x dx\)

336. \(\int xe^{-x^2} dx\)

337. \(\int x^2 e^{-x^3} dx\)

338. \(\int e^{\sin x} \cos x dx\)

339. \(\int e^{\tan x} \sec^2 x dx\)

340. \(\int e^{\ln x} \frac{dx}{x}\)

341. \(\int \frac{e^{\ln (1-t)}}{1 – t} dt\)

En los siguientes ejercicios, verifica por diferenciación que \(\int \ln x \; dx = x (\ln x – 1) + C\), luego usa los cambios de variables apropiados para calcular la integral.

342. \(\int x \ln x \; dx\) (Pista: \(\int x \ln x \; dx = \frac{1}{2} \int x \ln (x^2) \; dx\))

343. \(\int x^2 \ln(x^2) \; dx\)

344. \(\int \frac{\ln x}{x^2} dx\) (Pista: Haga \(u = \frac{1}{x}\).)

345. \(\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx\) (Pista: Haga \(u = \sqrt{x}\).)

346. Escribe una integral para expresar el área bajo la gráfica de \(y = \frac{1}{t}\) desde \(t = 1\) hasta \(e^x\) y evalúa la integral.

347. Escribe una integral para expresar el área bajo la gráfica de \(y = e^t\) entre \(t = 0\) y \(t = \ln x\), y evalúa la integral.

      En los siguientes ejercicios, use sustituciones apropiadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos:

348. \(\int \tan(2x) dx\)

349. \(\int \frac{\sin(3x) – \cos(3x)}{\sin(3x) + \cos(3x)} dx\)

350. \(\int \frac{x \sin(x^2)}{\cos(x^2)} dx\)

351. \(\int x \csc(x^2) dx\)

352. \(\int \ln(\cos x) \tan x dx\)

353. \(\int \ln(\csc x) \cot x dx\)

354. \(\int \frac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx\)

        En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida:

355. \(\int_{1}^{2} \frac{1 + 2x + x^2}{3x + 3x^2 + x^3} dx\)

356. \(\int_{0}^{\pi/4} \tan x dx\)

357. \(\int_{0}^{\pi/3} \frac{\sin x – \cos x}{\sin x + \cos x} dx\)

358. \(\int_{\pi/6}^{\pi/2} \csc x dx\)

359. \(\int_{\pi/4}^{\pi/3} \cot x dx\)

        En los siguientes ejercicios, integre usando la sustitución indicada:

360. \(\int \frac{x}{x – 100} dx\); \(u = x – 100\)

361. \(\int \frac{y – 1}{y + 1} dy\); \(u = y + 1\)

362. \(\int \frac{1 – x^2}{3x – x^3} dx\); \(u = 3x – x^3\)

363. \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x} dx\); \(u = \sin x – \cos x\)

364. \(\int e^{2x} \sqrt{1 – e^{2x}} dx\); \(u = e^{2x}\)

365. \(\int \ln(x) \frac{\sqrt{1 – (\ln x)^2}}{x} dx\); \(u = \ln x\)

        En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del punto extremo derecho sobreestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R₅₀ y resuelva para el área exacta:

366. [T] \(y = e^x\) en \([0, 1]\)

367. [T] \(y = e^{-x}\) en \([0, 1]\)

368. [T] \(y = \ln (x)\) en \([1, 2]\)

369. [T] \(y = \frac{x+1}{x^2 + 2x + 6}\) en \([0, 1]\)

370. [T] \(y = 2^x\) en \([-1, 0]\)

371. [T] \(y = -2^{-x}\) en \([0, 1]\)

En los siguientes ejercicios, \(f(x) \ge 0\) para \(a \le x \le b\). Encuentra el área bajo la gráfica de \(f(x)\) entre los valores dados \(a\) y \(b\) integrando.

372. \(f(x) = \frac{\log_{10}(x)}{x}\); \(a = 10, b = 100\)

373. \(f(x) = \frac{\log_{2}(x)}{x}\); \(a = 32, b = 64\)

374. \(f(x) = 2^{-x}\); \(a = 1, b = 2\)

375. \(f(x) = 2^{-x}\); \(a = 3, b = 4\)

376. Encuentra el área bajo la gráfica de la función \(f(x) = xe^{-x^2}\) entre \(x = 0\) y \(x = 5\).

377. Calcula la integral de \(f(x) = xe^{-x^2}\) y encuentra el valor más pequeño de N tal que el área bajo la gráfica de \(f(x) = xe^{-x^2}\) entre \(x = N\) y \(x = N + 1\) sea, a lo sumo, 0.01.

378. Encuentra el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo la gráfica de \(f(x) = xe^{-x^2}\) entre \(x = 0\) y \(x = N\).

379. Demuestra que \(\int_{a}^{b} \frac{dt}{t} = \int_{1/b}^{1/a} \frac{dt}{t}\) cuando \(0 < a \le b\).

380. Supón que \(f(x) > 0\) para toda x y que f y g son diferenciables. Usa la identidad \(f^g = e^{g \ln f}\) y la regla de la cadena para encontrar la derivada de \(f^g\).

381. Usa el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de \(h(x) = x^x (1 + \ln x)\) y evalúa \(\int_{2}^{3} x^x (1 + \ln x) dx\).

382. Demuestra que si \(c > 0\), entonces la integral de \(1/x\) desde \(ac\) hasta \(bc\) (\(0 < a < b\)) es la misma que la integral de \(1/x\) desde \(a\) hasta \(b\).

Los siguientes ejercicios están destinados a derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural a partir de la definición \(\ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{dt}{t}\), utilizando propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones:

383. Usa la identidad \(\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{dt}{t}\) para derivar la identidad \(\ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln x\).

384. Usa un cambio de variable en la integral \(\int_{1}^{xy} \frac{1}{t} dt\) para demostrar que \(\ln xy = \ln x + \ln y\) para \(x, y > 0\).

385. Usa la identidad \(\ln x = \int_{1}^{x} \frac{dt}{t}\) para demostrar que \(\ln(x)\) es una función creciente de x en \([0, \infty)\), y usa los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de \(\ln(x)\) es \((-\infty, \infty)\). Sin ninguna otra suposición, concluye que \(\ln(x)\) tiene una función inversa definida en \((-\infty, \infty)\).

386. Pretende, por un momento, que no sabemos que \(e^x\) es la función inversa de \(\ln(x)\), pero ten en cuenta que \(\ln(x)\) tiene una función inversa definida en \((-\infty, \infty)\). Llámala E. Usa la identidad \(\ln xy = \ln x + \ln y\) para deducir que \(E(a + b) = E(a) E(b)\) para cualquier número real a, b.

387. Pretende, por un momento, que no sabemos que \(e^x\) es la función inversa de \(\ln x\), pero ten en cuenta que \(\ln x\) tiene una función inversa definida en \((-\infty, \infty)\). Llámala E. Demuestra que \(E'(t) = E(t)\).

388. La integral seno, definida como \(S(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt\) es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para x grande. Demuestra que para \(k \ge 1\), \(|S(2\pi k) – S(2\pi (k + 1))| \le \frac{1}{k(2k + 1)\pi}\). (Pista: \(\sin(t + \pi) = -\sin t\))

389. [T] La distribución normal en probabilidad está dada por \(p(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(x – \mu)^2 / 2\sigma^2}\), donde \(\sigma\) es la desviación estándar y \(\mu\) es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, \(p_s\), corresponde a \(\mu = 0\) y \(\sigma = 1\). Calcula las estimaciones del punto final derecho \(R_{10}\) y \(R_{100}\) de \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2 / 2} dx\).

390. [T] Calcula las estimaciones del punto final derecho \(R_{50}\) y \(R_{100}\) de \(\int_{-3}^{5} \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{-(x – 1)^2 / 8}\).