| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden |
| 9.2.6 Factores de integración |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.2.6
1. (a) Verifique que µ(x, y) = y es un factor integrante para
en cualquier rectángulo abierto que no interseca el eje x o, de manera equivalente, que
Es exacta en cualquier rectángulo de este tipo.
(b) Verifique que y ≡ 0 es una solución de (B), pero no de (A).
(c) Demuestre que
es una solución implícita de (B), y explique por qué toda función diferenciable y = y(x) distinta de y ≡ 0 que satisface (C) también es una solución de (A).
2. (a) Verifique que µ(x, y) = 1/(x − y)2 es un factor integrante para
en cualquier rectángulo abierto que no corte la recta y = x o, de manera equivalente, que
Es exacta en cualquier rectángulo de este tipo.
(b) Utilice el Teorema 9.2.5.1 para demostrar que
es una solución implícita de (B) y explica por qué también es una solución implícita de (A)
(c) Verifique que y = x es una solución de (A), aunque no se puede obtener de (C).
En los Ejercicios 3–16 encuentre un factor de integración; que es una función de una sola variable, y resuelve la ecuación dada.
En los Ejercicios 17–23 encuentre un factor integrante de la forma µ(x, y) = P(x)Q(y) y resuelva la ecuación dada.
En los Ejercicios 24–27 encuentre un factor integrante y resuelva la ecuación. Trace un campo de direcciones y algunas curvas integrales para la ecuación en la región rectangular indicada.
28. Suponga que a, b, c y d son constantes tales que ad − bc ≠ 0, y sean m y n números reales arbitrarios. Muestre que
tiene un factor integrante µ(x, y) = xαyβ.
29. Suponga que M, N, Mx y Ny son continuas para todo (x, y), y µ = µ(x, y) es un factor integrante para
Suponga que µx y µy son continuas para todo (x, y), y suponga que y = y(x) es una función diferenciable tal que µ(x, y(x)) = 0 y µx(x, y(x)) ≠ 0 para todo x en algún intervalo I. Demuestre que y es una solución de (A) en I.
30. De acuerdo con el Teorema 9.2.6.1, la solución general de la ecuación lineal no homogénea
es
donde y1 es cualquier solución no trivial de la ecuación complementaria y′ + p(x)y = 0. En este ejercicio obtenemos esta conclusión de forma diferente. Puede resultarle instructivo aplicar el método sugerido aquí para resolver algunos de los ejercicios de la Sección 9.2.1.
(a) Reescriba (A) como
y muestre que 
es un factor integrante para (C).
(b) Multiplique (A) hasta por y verifique que la ecuación resultante se puede reescribir como
Luego integre ambos lados de esta ecuación y resuelva para y para mostrar que la solución general de (A) es
¿Por qué esta forma de la solución general es equivalente a (B)?