| 5.3 Teorema fundamental del cálculo |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.3

144. Considere dos atletas corriendo a velocidades variables \( v_1(t) \) y \( v_2(t) \). Los corredores comienzan y terminan una carrera exactamente al mismo tiempo. Explique por qué los dos corredores deben tener la misma velocidad en algún momento.
145. Dos alpinistas comienzan su ascenso desde el campamento base, tomando dos rutas diferentes, una más empinada que la otra, y llegan a la cima exactamente al mismo tiempo. ¿Es necesariamente cierto que, en algún momento, ambos escaladores aumentaron su altitud a la misma tasa?
146. Para ingresar a una cierta carretera de peaje, un conductor debe tomar una tarjeta que enumera el punto de entrada de la milla. La tarjeta también tiene una marca de tiempo. Al pagar el peaje a la salida, el conductor se sorprende al recibir una multa por exceso de velocidad junto con el peaje. Explique cómo puede suceder esto.
147. Establezca \( F(x) = \int_1^x (1 – t) \, dt \). Encuentre \( F'(2) \) y el valor promedio de \( F’ \) sobre \( [1, 2] \).

      En los siguientes ejercicios, utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar cada derivada:

148. \( \frac{d}{dx} \int_1^x e^{-t^2} \, dt \)
149. \( \frac{d}{dx} \int_1^x e^{\cos t} \, dt \)
150. \( \frac{d}{dx} \int_3^x \sqrt{9 – y^2} \, dy \)
151. \( \frac{d}{dx} \int_4^x \frac{ds}{\sqrt{16 – s^2}} \)
152. \( \frac{d}{dx} \int_x^{2x} t \, dt \)
153. \( \frac{d}{dx} \int_0^{\sqrt{x}} t \, dt \)
154. \( \frac{d}{dx} \int_0^{\sin x} \sqrt{1 – t^2} \, dt \)
155. \( \frac{d}{dx} \int_{\cos x}^1 \sqrt{1 – t^2} \, dt \)
156. \( \frac{d}{dx} \int_1^{\sqrt{x}} \frac{t^2}{1 + t^4} \, dt \)
157. \( \frac{d}{dx} \int_1^{x^2} \frac{\sqrt{t}}{1 + t} \, dt \)
158. \( \frac{d}{dx} \int_0^{\ln x} e^t \, dt \)
159. \( \frac{d}{dx} \int_1^{e^x} \ln(u)^2 \, du \)

160. El gráfico de \( y = \int_0^x f(t) \, dt \), donde \( f \) es una función constante a trozos, se muestra aquí.

1. ¿En qué intervalos \( f \) es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero?
2. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de \( f \)?
3. ¿Cuál es el valor promedio de \( f \)?

161. El gráfico de \( y = \int_0^x f(t) \, dt \), donde \( f \) es una función constante por partes, se muestra aquí.

1. ¿En qué intervalos \( f \) es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero?
2. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de \( f \)?
3. ¿Cuál es el valor promedio de \( f \)?

162. El gráfico de \( y = \int_0^x \ell(t) \, dt \), donde \( \ell \) es una función lineal a trozos, se muestra aquí.

1. ¿En qué intervalos \( \ell \) es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero?
2. ¿En qué intervalos es \( \ell \) creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es?
3. ¿Cuál es el valor promedio de \( \ell \)?

163. El gráfico de \( y = \int_0^x \ell(t) \, dt \), donde \( \ell \) es una función lineal por partes, se muestra aquí.

1. ¿En qué intervalos \( \ell \) es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero?
2. ¿En qué intervalos es \( \ell \) creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es?
3. ¿Cuál es el valor promedio de \( \ell \)?

En los siguientes ejercicios utilice una calculadora para estimar el área debajo de la curva calculando \( T_{10} \), el promedio de las sumas de Riemann de los extremos izquierdo y derecho utilizando rectángulos \( N = 10 \). Luego, utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2, determine el área exacta:

164. [T] \( y = x^2 \) en \([0, 4]\)

165. [T] \( y = x^3 + 6x^2 + x – 5 \) en \([-4, 2]\)

166. [T] \( y = \sqrt{x^3} \) en \([0, 6]\)

167. [T] \( y = \sqrt{x} + x^2 \) en \([1, 9]\)

168. [T] \( \int (\cos{x} – \sin{x})dx \) en \([0, \pi]\)

169. [T] \( \int \frac{4}{x^2}dx \) en \([1, 4]\)

      En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2:

170. \( \int_{-1}^{2} (x^2 – 3x) \, dx \)

171. \( \int_{-2}^{3} (x^2 + 3x – 5) \, dx \)

172. \( \int_{-2}^{3} (t + 2)(t – 3) \, dt \)

173. \( \int_{2}^{3} (t^2 – 9)(4 – t^2) \, dt \)

174. \( \int_{1}^{2} x^9 \, dx \)

175. \( \int_{0}^{1} x^{99} \, dx \)

176. \( \int_{4}^{8} (4t^{5/2} – 3t^{3/2}) \, dt \)

177. \( \int_{1/4}^{4} \left( x^2 – \frac{1}{x^2} \right) \, dx \)

178. \( \int_{1}^{2} \frac{2}{x^3} \, dx \)

179. \( \int_{1}^{4} \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \)

180. \( \int_{1}^{4} \frac{2 – \sqrt{t}}{t^2} \, dt \)

181. \( \int_{1}^{16} \frac{dt}{t^{1/4}} \)

182. \( \int_{0}^{2\pi} \cos{\theta} \, d\theta \)

183. \( \int_{0}^{\pi/2} \sin{\theta} \, d\theta \)

184. \( \int_{0}^{\pi/4} \sec^2{\theta} \, d\theta \)

185. \( \int_{0}^{\pi/4} \sec{\theta} \tan{\theta} \, d\theta \)

186. \( \int_{\pi/3}^{\pi/4} \csc{\theta} \cot{\theta} \, d\theta \)

187. \( \int_{\pi/4}^{\pi/2} \csc^2{\theta} \, d\theta \)

188. \( \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{t^2} – \frac{1}{t^3} \right) \, dt \)

189. \( \int_{-2}^{-1} \left( \frac{1}{t^2} – \frac{1}{t^3} \right) \, dt \)

      En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de evaluación para expresar la integral como una función F(x):

190. \( \int_{a}^{x} t^2 \, dt \)

191. \( \int_{1}^{x} e^t \, dt \)

192. \( \int_{0}^{x} \cos{t} \, dt \)

193. \( \int_{-x}^{x} \sin{t} \, dt \)

       En los siguientes ejercicios, identifique las raíces del integrando para eliminar los valores absolutos, y luego evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2:

194. \( \int_{-2}^{3} |x| \, dx \)

195. \( \int_{-2}^{4} |t^2 – 2t – 3| \, dt \)

196. \( \int_{0}^{\pi} |\cos{t}| \, dt \)

197. \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin{t}| \, dt \)

198. Supongamos que el número de horas de luz en un día determinado en Seattle se modela mediante la función \( -3,75 \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 12,25 \), con \( t \) expresado en meses y \( t = 0 \) correspondiente al solsticio de invierno.

199. Supongamos que la tasa de consumo de gasolina a lo largo de un año en Estados Unidos puede modelarse mediante una función sinusoidal de la forma \( \left(11,21 – \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right) \times 10^9 \) gal/mo.

200. Explique por qué, si \( f \) es continua sobre \( [a, b] \), hay al menos un punto \( c \in [a, b] \) de manera que \[ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) \, dt. \]

201. Explique por qué, si \( f \) es continua sobre \( [a, b] \) y no es igual a una constante, hay al menos un punto \( M \in [a, b] \) de manera que \[ f(M) > \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) \, dt \] y al menos un punto \( m \in [a, b] \) de manera que \[ f(m) < \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t) \, dt. \]

202. La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto más cercano de una órbita planetaria al Sol se llama perihelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 3 de enero) y el punto más alejado se denomina afelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 4 de julio). La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de sus órbitas elípticas en tiempos iguales. Así, los dos arcos indicados en la siguiente figura se barren en tiempos iguales. ¿En qué momento del año la Tierra se mueve más rápido en su órbita? ¿Cuándo se mueve más lentamente?

203. Un punto de una elipse con eje mayor de longitud \(2a\) y eje menor de longitud \(2b\) tiene las coordenadas \( (a \cos \theta, b \sin \theta) \), \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \).

204. Como se dijo antes, según las leyes de Kepler, la órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. El perihelio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 147.098.290 km y el afelio es de 152.098.232 km.

205. La fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta es \( \mathbf{F}(\theta) = \frac{Gm M}{r^2(\theta)} \), donde \( m \) es la masa del planeta, \( M \) es la masa del Sol, \( G \) es una constante universal y \( r(\theta) \) es la distancia entre el Sol y el planeta cuando éste se halla en un ángulo \( \theta \) con el eje mayor de su órbita. Suponiendo que \( M, m \) y los parámetros de la elipse \( a \) y \( b \) (semilongitudes de los ejes mayor y menor) están dados, establezca –pero no evalúe– una integral que exprese en términos de \( G, m, M, a, b \) la fuerza gravitatoria promedio entre el Sol y el planeta.

206. El desplazamiento desde el reposo de una masa unida a un resorte satisface la ecuación de movimiento armónico simple \( x(t) = A \cos(\omega t – \phi) \), donde \( \phi \) es una constante de fase, \( \omega \) es la frecuencia angular y \( A \) es la amplitud. Halle la velocidad media, la rapidez media (magnitud de la velocidad), el desplazamiento medio y la distancia media desde el reposo (magnitud del desplazamiento) de la masa.