Ecuaciones paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Eliminar el parámetro

      Para comprender mejor la gráfica de una curva representada de manera paramétrica, es útil reescribir las dos ecuaciones como una sola ecuación que relaciona las variables x e y. Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana del ejemplo 8.1_1b. son

x(t) = t² − 3, y(t) = 2t + 1, −2 ≤ t ≤ 3.

Resolver la segunda ecuación para t da

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Esto se puede sustituir en la primera ecuación:

Esta ecuación describe x como una función de y. Estos pasos dan un ejemplo de cómo eliminar el parámetro. La gráfica de esta función es una parábola que se abre a la derecha. Recuerde que la curva plana comienza en (1, −3) y termina en (6, 7). Estas terminaciones se debieron a la restricción del parámetro t.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8.1_2. Eliminar el parámetro

Elimine el parámetro para cada una de las curvas planas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.
a. x(t) = √(2t + 4), y(t) = 2t + 1, −2 ≤ t ≤ 6
b. x(t) = 4cost, y(t) = 3sent, 0 ≤ t ≤ 2π

Solución:
a. Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para t. Por ejemplo, resolver la primera ecuación para t da

Tenga en cuenta que cuando cuadramos ambos lados, es importante observar que x ≥ 0. Sustituyendo t = (x² − 4)/2 esto en y(t) da como resultado

Esta es la ecuación de una parábola que abre hacia arriba. Sin embargo, existe una restricción de dominio debido a los límites del parámetro t. Cuando t = −2, x = √[2(−2) + 4] = 0, y cuando t = 6, x = √[2(6) +4] = 4. A continuación se muestra la gráfica de esta curva plana.

Figura 8.1_6 Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas del inciso a.

b. A veces es necesario ser un poco creativo para eliminar el parámetro. Las ecuaciones paramétricas de este ejemplo son

x(t) = 4cost  e  y(t) = 3sent.

No es aconsejable resolver ninguna de las ecuaciones para t directamente porque el seno y el coseno no son funciones uno a uno. Sin embargo, dividir la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 3 (y suprimir la t) nos da

cost = x/4  y  sent = y/3

Ahora use la identidad pitagórica cos²t + sen²t = 1 y reemplace las expresiones para sent y cost con las expresiones equivalentes en términos de x e y. Esto da

Ésta es la ecuación de una elipse horizontal centrada en el origen, con semieje mayor 4 y semieje menor 3 como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 8.1_7 Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas del inciso b.

A medida que t progresa de 0 a 2π, un punto de la curva atraviesa la elipse una vez, en sentido antihorario. Recuerde de la introducción a esta sección que la órbita de la Tierra alrededor del Sol también es elíptica. Este es un ejemplo perfecto del uso de curvas parametrizadas para modelar un fenómeno del mundo real.

Ejercicio de control 8.1_2

Elimine el parámetro de la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante.

x(t) = 2 + 3t, y(t) = t − 1, 2 ≤ t ≤ 6.

Hasta ahora hemos visto el método de eliminar el parámetro, asumiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Qué pasa si quisiéramos comenzar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Sin duda, esto es posible y, de hecho, es posible hacerlo de muchas formas diferentes para una curva determinada. El proceso se conoce como parametrización de una curva.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8.1_3. Parametrizar una curva

Encuentre dos pares diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y = 2x² − 3.

Solución:

Primero, siempre es posible parametrizar una curva definiendo x(t) = t, luego reemplazando x con t en la ecuación para y(t). Esto da la parametrización

x(t) = t, y(t) = 2t² − 3.

Dado que no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de t.

Tenemos total libertad en la elección de la segunda parametrización. Por ejemplo, podemos elegir

x(t) = 3t − 2. Lo único que tenemos que comprobar es que no se imponen restricciones a x; es decir, el rango de x(t) son todos números reales. Este es el caso de x(t) = 3t − 2. Ahora, como y = 2x² − 3, podemos sustituir x(t) = 3t − 2 por x. Esto da

Por tanto, una segunda parametrización de la curva se puede escribir como

x(t) = 3t − 2  y  y(t) = 18t² − 24t + 6.

Ejercicio de control 8.1_3

Encuentre dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y = x² + 2x.

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