| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden | 9.5.3 Ecuaciones lineales no homogéneas |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.3
En los ejercicios 1 a 6, encuentre una solución particular por el método usado en el Ejemplo 9.5.3.2. Luego encuentre la solución general y, donde se indica, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
7. Demuestre que el método utilizado en el Ejemplo 9.5.3.2 no producirá una solución particular de
y′′ + y′ = 1 + 2x + x2; (A)
es decir, (A) no tiene una solución particular de la forma yp = A + Bx + Cx2, donde A, B y C son constantes.
En los ejercicios 8 a 13, encuentre una solución particular por el método usado en el Ejemplo 9.5.3.3.
14. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 8 a 13 no producirá una solución particular de
(A)
es decir, (A) no tiene solución particular de la forma yp = A/x3.
15. Demostrar: si a, b, c, α y M son constantes y M ≠ 0 entonces
ax2y′′ + bxy′ + cy = Mxα
tiene solución particular yp = Axα (A = constante) si y sólo si aα(α − 1) + bα + c ≠ 0.
Si a, b, c, y α son constantes, entonces
Use la conclusión hecha en el Ejercicio 15 en los Ejercicios 16 a 21 para encontrar una solución particular. Luego encuentre la solución general y, donde se indica, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
22. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 16 a 21 no producirá una solución particular de
y′′ − 7y′ + 12y = 5e4x; (A)
es decir, (A) no tiene solución particular de la forma yp = Ae4x.
23. Demostrar: Si α y M son constantes y M ≠ 0 entonces ecuación de coeficiente constante
ay′′ + by′ + cy = Meαx
tiene una solución particular yp = Aeαx (A = constante) si y solo si eαx no es una solución de la ecuación complementaria.
Si ω es una constante, al derivar una combinación lineal de cosωx y senωx con respecto a x se obtiene otra combinación lineal de cosωx y senωx. En los Ejercicios 24 a 29 use esto para encontrar una solución particular de la ecuación. Luego encuentre la solución general y, donde se indica, resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución.
30. Encuentra la solución general de
y′′ + ω02y = M cosωx + N senωx,
donde M y N son constantes y ω y ω0 son números positivos distintos.
31. Demuestre que el método sugerido para encontrar una solución particular en los Ejercicios 24 a 29 no producirá una solución particular de
y′′ + y = cosx + senx; (A)
es decir, (A) no tiene solución particular de la forma yp = Acosx + Bsenx.
32. Demostrar: si M, N son constantes (no ambos cero) y ω > 0, la ecuación del coeficiente constante
ay′′ + by′ + cy = Mcosωx + Nsenωx (A)
tiene una solución particular que es una combinación lineal de cosωx y senωx si y solo si el lado izquierdo de (A) no es de la forma a(y′′ + ω2y), de modo que cosωx y senωx son soluciones de la ecuación complementaria.
En los ejercicios 33 a 38, consulte los ejercicios citados y use el principio de superposición para encontrar una solución particular. Luego encuentra la solución general.
33. y′′ + 5y′ − 6y = 22 + 18x − 18x2 + 6e3x (Vea los Ejercicios 1 y 16).
34. y′′ − 4y′ + 5y = 1 + 5x + e2x (Consulta los ejercicios 2 y 17).
35. y′′ + 8y′ + 7y = −8 − x + 24x2 + 7x3 + 10e−2x (Vea los ejercicios 3 y 18).
36. y′′ − 4y′ + 4y = 2 + 8x − 4x2 + ex (Consulte los ejercicios 4 y 19).
37. y′′ + 2y′ + 10y = 4 + 26x + 6x2 + 10x3 + ex/2 (Ver ejercicios 5 y 20).
38. y′′ + 6y′ + 10y = 22 + 20x + e−3x (Ver ejercicios 6 y 21).
39. Demuestre: si yp1 es una solución particular de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = F1(x)
en (a, b) y yp2 es una solución particular de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = F2(x)
en (a, b), entonces yp = yp1 + yp2 es una solución de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = F1(x) + F2(x)
en (a, b).
40. Suponga que p, q y f son continuas en (a, b). Sean y1, y2 e yp dos veces diferenciables en (a, b), tal que y = c1y1 + c2y2 + yp es una solución de
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f
en (a, b) para cada elección de las constantes c1, c2. Demuestre que y1 e y2 son soluciones de la ecuación complementaria en (a, b).