Campos vectoriales

Campos de vectores en R³

Hemos visto varios ejemplos de campos vectoriales en R²; pasemos ahora nuestra atención a los campos vectoriales en R³. Estos campos vectoriales se pueden usar para modelar campos gravitacionales o electromagnéticos, y también se pueden usar para modelar el flujo de fluido o el flujo de calor en tres dimensiones. Un campo vectorial bidimensional realmente solo puede modelar el movimiento del agua en una porción bidimensional de un río (como la superficie del río). Dado que un río fluye a través de tres dimensiones espaciales, para modelar el flujo de toda la profundidad del río, necesitamos un campo vectorial en tres dimensiones.

La dimensión adicional de un campo tridimensional puede hacer que los campos vectoriales en R³ sean más difíciles de visualizar, pero la idea es la misma. Para visualizar un campo vectorial en R³, trace suficientes vectores para mostrar la forma general. Podemos usar un método similar para visualizar un campo vectorial en R² eligiendo puntos en cada octante.

Al igual que con los campos vectoriales en R², podemos representar campos vectoriales en R³ con funciones componentes. Simplemente necesitamos una función componente adicional para la dimensión extra. Nosotros escribimos

0

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_7. Dibujar un campo vectorial en tres dimensiones

Describa el campo vectorial F(x, y, z) = ⟨1, 1, z⟩.

Solución:
Para este campo vectorial, los componentes x e y son constantes, por lo que cada punto en R³ tiene un vector asociado con componentes x e y igual a uno. Para visualizar F, primero consideramos cómo se ve el campo en el plano xy. En el plano xy, z = 0. Por lo tanto, cada punto de la forma (a, b, 0) tiene asociado el vector ⟨1, 1, 0⟩. Para los puntos que no están en el plano xy pero están ligeramente por encima de él, el vector asociado tiene un componente z pequeño pero positivo y, por lo tanto, el vector asociado apunta ligeramente hacia arriba. Para los puntos que están muy por encima del plano xy, el componente z es grande, por lo que el vector es casi vertical. La figura 10.12_6 muestra este campo vectorial.

En el siguiente ejemplo, exploramos uno de los casos clásicos de un campo vectorial tridimensional: un campo gravitacional.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_8. Describiendo un campo vectorial gravitacional

La ley de gravitación de Newton establece que

donde G es la constante gravitacional universal. Describe el campo gravitacional ejercido por un objeto (objeto 1) de masa m₁ ubicado en el origen en otro objeto (objeto 2) de masa m₂ ubicado en el punto (x, y, z). El campo F denota la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2, r es la distancia entre los dos objetos, ȓ  indica el vector unitario desde el primer objeto hasta el segundo. El signo menos muestra que la fuerza gravitacional atrae hacia el origen; es decir, la fuerza del objeto 1 es atractiva. Dibuja el campo vectorial asociado con esta ecuación. 

Solución:
Como el objeto 1 se encuentra en el origen, la distancia entre los objetos viene dada por

El vector unitario del objeto 1 al objeto 2 es

y por lo tanto

Por lo tanto, el campo vectorial gravitacional F ejercido por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

Este es un ejemplo de un campo vectorial radial en R³.
La figura 10.12_7 muestra cómo se ve este campo gravitacional para una gran masa en el origen. Tenga en cuenta que las magnitudes de los vectores aumentan a medida que los vectores se acercan al origen.

Campos de gradiente

En esta sección, estudiamos un tipo especial de campo vectorial llamado campo de gradiente o campo conservador. Estos campos vectoriales son extremadamente importantes en física porque pueden usarse para modelar sistemas físicos en los que se conserva la energía. Los campos gravitacionales y los campos eléctricos asociados con una carga estática son ejemplos de campos de gradiente.

Recuerde que si f es una función (escalar) de x e y, entonces el gradiente de f es

Podemos ver en la forma en que se escribe el gradiente que ∇ f es un campo vectorial en R². Del mismo modo, si f es una función de x, y y z, entonces el gradiente de f es

El gradiente de una función de tres variables es un campo vectorial en R³.
Un campo de gradiente es un campo vectorial que se puede escribir como el gradiente de una función, y tenemos la siguiente definición.

DEFINICIÓN. Campo de gradiente Un campo vectorial F en R² o en R³ es un campo de gradiente si existe una función escalar f tal que ∇ f = F.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_9. Dibujar un campo vectorial de gradiente

Use la tecnología para trazar el campo vectorial de gradiente de f (x, y) = x²y².

Solución:
El gradiente de f es ∇ f = ⟨2xy², 2x²y⟩. Para dibujar el campo vectorial, use un sistema de álgebra computacional como Mathematica. La figura 10.12_8 muestra ∇ f.

Considere la función f (x, y) = x²y² del ejemplo anterior. La Figura 10.12_8 muestra las curvas de nivel de esta función superpuestas en el campo vectorial de gradiente de la función. Los vectores de gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel, y las magnitudes de los vectores se hacen más grandes a medida que las curvas de nivel se acercan, porque las curvas de nivel estrechamente agrupadas indican que el gráfico es empinado, y la magnitud del vector de gradiente es el valor más grande de derivado direccional. Por lo tanto, puede ver la inclinación local de un gráfico investigando el campo de gradiente de la función correspondiente.

Figura 10.12_9 El campo de gradiente de f (x, y) = x²y² y varias curvas de nivel de f. Observe que a medida que las curvas de nivel se acercan, aumenta la magnitud de los vectores de gradiente.

Como aprendimos anteriormente, un campo vectorial F es un campo vectorial conservador, o un campo de gradiente si existe una función escalar f tal que ∇ f = F. En esta situación, f se denomina función potencial para F. Los campos vectoriales conservadores surgen en muchas aplicaciones, particularmente en física. La razón por la cual estos campos se llaman conservadores es porque modelan las fuerzas de los sistemas físicos en los que se conserva la energía. Estudiamos los campos vectoriales conservadores con más detalle más adelante en este capítulo.

Puede notar que, en algunas aplicaciones, una función potencial f para F se define como una función tal que −∇ f = F. Este es el caso de ciertos contextos en física, por ejemplo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_10. Verificación de una función potencial

¿Es f (x, y, z) = x²yz − sen (xy) una función potencial para el campo vectorial

Solución:
Necesitamos confirmar si ∇ f = F. Tenemos

Por lo tanto, ∇ f = F y f es una función potencial para F.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_11. Verificación de una función potencial

La velocidad de un fluido se modela por el campo

Comprueba que

es una función potencial para v.

Solución:
Para mostrar que f es una función potencial, debemos mostrar que ∇ f = v. Tenga en cuenta que

Por lo tanto,

y f es una función potencial para v.

Si F es un campo vectorial conservador, entonces hay al menos una función potencial f tal que ∇ f = F. Pero, ¿podría haber más de una función potencial? Si es así, ¿hay alguna relación entre dos funciones potenciales para el mismo campo vectorial? Antes de responder estas preguntas, recordemos algunos hechos del cálculo de una sola variable para guiar nuestra intuición. Recuerde que si k (x) es una función integrable, entonces k tiene infinitas antiderivadas. Además, si F y G son ambas antiderivadas de k, entonces F y G difieren solo por una constante. Es decir, hay algún número C tal que F (x) = G (x) + C.
Ahora dejemos que F sea un campo vectorial conservador y que f y g sean funciones potenciales para F. Dado que el gradiente es como una derivada, F ser conservador significa que F es “integrable” con “antiderivadas” f y g. Por lo tanto, si la analogía con el cálculo de una sola variable es válida, esperamos que haya una constante C tal que f (x) = g (x) + C. El siguiente teorema dice que este es el caso.

Para establecer con precisión el siguiente teorema, debemos suponer que el dominio del campo vectorial está conectado y abierto. Estar conectado significa que si P₁ y P₂ son dos puntos en el dominio, puede caminar de P₁ a P₂ a lo largo de una ruta que se mantiene completamente dentro del dominio.

TEOREMA 10.12.1 Singularidad de las funciones potenciales Sea F un campo vectorial conservador en un dominio abierto y conectado y sean f  y  g funciones tales que ∇ f = F  y  ∇ g = F. Entonces, hay una constante C tal que  f = g + C.

Prueba Como f  y g son funciones potenciales para F, entonces ∇ (f − g) = ∇ f − ∇ g = F − F = 0. Deje h = f − g, entonces tenemos ∇ h = 0. Nos gustaría mostrar que h es una función constante. Suponga que h es una función de x e y (la lógica de esta demostración se extiende a cualquier número de variables independientes). Como ∇ h = 0, tenemos  hx = 0 y hy = 0. La expresión hx = 0 implica que h es una función constante con respecto a x, es decir, h (x, y) = k1(y) para alguna función k1. Del mismo modo, hy = 0 implica h (x, y) = k2(x) para alguna función k2. Por lo tanto, la función h depende solo de y y también depende solo de x. Por lo tanto, h (x, y) = C para alguna constante C en el dominio conectado de F. Tenga en cuenta que realmente necesitamos conexión en este punto; si el dominio de F viene en dos piezas separadas, entonces k podría ser un constante C1 en una pieza pero podría ser una constante diferente C2 en la otra pieza. Como  f − g = h = C, tenemos que f = g + C, según lo deseado.

Los campos vectoriales conservadores también tienen una propiedad especial llamada propiedad transversal parcial. Esta propiedad ayuda a probar si un campo vectorial dado es conservador.

TEOREMA 10.12.2 La propiedad transversal de los campos vectoriales conservadores Sea F un campo vectorial en dos o tres dimensiones de modo que las funciones componentes de F tengan derivadas parciales mixtas de segundo orden continuas en el dominio de F. Si F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ es un campo vectorial conservador en R², entonces Si F(x, y, z) = ⟨P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)⟩ es un campo vectorial conservador en R³, entonces

 

Prueba Como F es conservador, existe una función f (x, y) tal que ∇ f = F. Por lo tanto, según la definición del gradiente, fx = P y fy = Q. Según el teorema de Clairaut,  fxy = fyx, pero, fx y = P y  y  fy x = Q x, y por lo tanto Py = Q x.

El teorema de Clairaut ofrece una prueba rápida de la propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores en R³, tal como lo hizo para los campos vectoriales en R².
La propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores muestra que la mayoría de los campos vectoriales no son conservadores. La propiedad transversal parcial es difícil de satisfacer en general, por lo que la mayoría de los campos vectoriales no tendrán transversales parciales iguales.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_12. Mostrar un campo vectorial no conservador

Muestre que el campo vectorial rotacional F (x, y) = ⟨y, −x⟩ no es conservador.

Solución:
Sea P (x, y) = y  y  Q (x, y) = − x. Si F es conservador, entonces los transversales parciales serían iguales, es decir, P_y sería igual a Q_x. Por lo tanto, para mostrar que F no es conservador, verifique que P_y ≠ Q_x.  Como P_y = 1 y Q_x = −1, el campo vectorial no es conservador.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.12_13. Mostrar un campo vectorial no conservador

¿Es el campo vectorial F (x, y, z) = ⟨7, −2, x³⟩ conservador?

Solución:
Sea P (x, y, z) = 7, Q (x, y, z) = – 2 y R (x, y, z) = x³. Si F es conservador, entonces se satisfarán las tres ecuaciones parciales cruzadas, es decir, si F es conservador, entonces P_y sería igual a Q_x, Q_z sería igual a R_y y R_x sería igual a P_z. Tenga en cuenta que P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0, por lo que se mantienen las dos primeras igualdades necesarias. Sin embargo, R_x = 3x³ y P_z = 0, entonces R_x ≠ P_z. Por lo tanto, F no es conservador.

Concluimos esta sección con una palabra de advertencia: La propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores dice que si F es conservador, entonces F tiene la propiedad transversal parcial. El teorema no dice que, si F tiene la propiedad parcial parcial, F es conservador (lo contrario de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original). En otras palabras, la propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores solo puede ayudar a determinar que un campo no es conservador; no le permite concluir que un campo vectorial es conservador. Por ejemplo, considere el campo vectorial F (x, y) = ⟨x²y, x³/3⟩. Este campo tiene la propiedad transversal parcial, por lo que es natural intentar usar La propiedad transversal parcial de los campos vectoriales conservadores para concluir que este campo vectorial es conservador. Sin embargo, esta es una aplicación errónea del teorema. Más tarde aprendemos cómo concluir que F es conservador.