| 10.9 Calculo de funciones vectoriales |
Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.9
Calcula las derivadas de las siguientes funciones vectoriales.
- \( \mathbf{r}(t) = t^3 \mathbf{i} + 3t^2 \mathbf{j} + \frac{t^3}{6} \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = \sin(t) \mathbf{i} + \cos(t) \mathbf{j} + e^t \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = e^{-t} \mathbf{i} + \sin(3t) \mathbf{j} + 10\sqrt{t} \mathbf{k} \). Aquí se muestra un esbozo de la gráfica. Observa la naturaleza periódica variable de la gráfica.
- \( \mathbf{r}(t) = e^t \mathbf{i} + 2e^t \mathbf{j} + \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = te^t \mathbf{i} + t\ln(t) \mathbf{j} + \sin(3t) \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = \frac{1}{t+1} \mathbf{i} + \arctan(t) \mathbf{j} + \ln t^3 \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = \tan(2t) \mathbf{i} + \sec(2t) \mathbf{j} + \sin^2(t) \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = 3\mathbf{i} + 4\sin(3t) \mathbf{j} + t\cos(t) \mathbf{k} \)
- \( \mathbf{r}(t) = t^2 \mathbf{i} + te^{-2t} \mathbf{j} – 5e^{-4t} \mathbf{k} \)
Para los siguientes problemas, encuentra un vector tangente en el valor indicado de t.
- \( \mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + \sin(2t) \mathbf{j} + \cos(3t) \mathbf{k}; t = \frac{\pi}{3} \)
- \( \mathbf{r}(t) = 3t^3 \mathbf{i} + 2t^2 \mathbf{j} + \frac{1}{t} \mathbf{k}; t = 1 \)
- \( \mathbf{r}(t) = 3e^t \mathbf{i} + 2e^{-3t} \mathbf{j} + 4e^{2t} \mathbf{k}; t = \ln(2) \)
- \( \mathbf{r}(t) = \cos(2t) \mathbf{i} + 2\sin t \mathbf{j} + t^2 \mathbf{k}; t = \frac{\pi}{2} \)
Encuentra el vector tangente unitario para las siguientes curvas parametrizadas.
- \( \mathbf{r}(t) = 6\mathbf{i} + \cos(3t)\mathbf{j} + 3\sin(4t)\mathbf{k}, 0 \leq t < 2\pi \). Aquí se presentan dos vistas de esta curva:
- \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + \sin t \mathbf{k}, 0 \leq t < 2\pi. \)
- \( \mathbf{r}(t) = 3\cos(4t) \mathbf{i} + 3\sin(4t) \mathbf{j} + 5t \mathbf{k}, 1 \leq t \leq 2 \)
- \( \mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + 3t \mathbf{j} + t^2 \mathbf{k} \)
Sean \( \mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} – t^4 \mathbf{k} \) y \( \mathbf{s}(t) = \sin(t) \mathbf{i} + e^t \mathbf{j} + \cos(t) \mathbf{k} \). Aquí está la gráfica de la función:
Encuentra lo siguiente:
- \( \frac{d}{dt} [\mathbf{r}(t^2)] \)
- \( \frac{d}{dt} [t^2 \cdot \mathbf{s}(t)] \)
- \( \frac{d}{dt} [\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t)] \)
- Calcula la primera, segunda y tercera derivada de \( \mathbf{r}(t) = 3t \mathbf{i} + 6\ln(t) \mathbf{j} + 5e^{-3t} \mathbf{k} \).
- Encuentra \( \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{r}”(t) \) para \( \mathbf{r}(t) = -3t^5 \mathbf{i} + 5t \mathbf{j} + 2t^2 \mathbf{k} \).
- La función de aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial de una partícula son \( \mathbf{a}(t) = -5\cos t \mathbf{i} – 5\sin t \mathbf{j} \), \( \mathbf{v}(0) = 9\mathbf{i} + 2\mathbf{j} \) y \( \mathbf{r}(0) = 5\mathbf{i} \). Encuentra \( \mathbf{v}(t) \) y \( \mathbf{r}(t) \).
-
El vector posición de una partícula es \( \mathbf{r}(t) = 5\sec(2t) \mathbf{i} – 4\tan(t) \mathbf{j} + 7t^2 \mathbf{k} \).
- Grafica la función posición y muestra una vista de la gráfica que ilustre el comportamiento asintótico de la función.
- Encuentra la velocidad cuando t se aproxima a, pero no es igual a, \( \pi/4 \) (si existe).
- Encuentra la velocidad y la rapidez de una partícula con la función posición \( \mathbf{r}(t) = \left(\frac{2t-1}{2t+1}\right) \mathbf{i} + \ln(1 – 4t^2) \mathbf{j} \). La rapidez de una partícula es la magnitud de la velocidad y se representa por \( \|\mathbf{r}'(t)\| \).
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio b de acuerdo con la función \( \mathbf{r}(t) = b\cos(\omega t) \mathbf{i} + b\sin(\omega t) \mathbf{j} \), donde \( \omega \) es la velocidad angular, \( d\theta/dt \).
- Encuentra la función de velocidad y muestra que \( \mathbf{v}(t) \) es siempre ortogonal a \( \mathbf{r}(t) \).
- Muestra que la rapidez de la partícula es proporcional a la velocidad angular.
- Evalúa \( \frac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{u}'(t)] \) dado \( \mathbf{u}(t) = t^2 \mathbf{i} – 2t \mathbf{j} + \mathbf{k} \).
- Encuentra la antiderivada de \( \mathbf{r}'(t) = \cos(2t) \mathbf{i} – 2\sin t \mathbf{j} + \frac{1}{1+t^2} \mathbf{k} \) que satisface la condición inicial \( \mathbf{r}(0) = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \).
- Evalúa \( \int_0^3 \|\mathbf{t} \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j}\| \, dt \).
- Un objeto parte del reposo en el punto \( P(1, 2, 0) \) y se mueve con una aceleración de \( \mathbf{a}(t) = \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \), donde \( \|\mathbf{a}(t)\| \) se mide en pies por segundo al cuadrado. Encuentra la ubicación del objeto después de \( t = 2 \) segundos.
- Muestra que si la rapidez de una partícula que viaja a lo largo de una curva representada por una función vectorial es constante, entonces la función de velocidad es siempre perpendicular a la función de aceleración.
- Dado \( \mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + 3t \mathbf{j} + t^2 \mathbf{k} \) y \( \mathbf{u}(t) = 4t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} + t^3 \mathbf{k} \), encuentra \( \frac{d}{dt} (\mathbf{r}(t) \times \mathbf{u}(t)) \).
- Dado \( \mathbf{r}(t) = (t + \cos t, t – \sin t) \), encuentra la velocidad y la rapidez en cualquier momento t.
- Encuentra el vector velocidad para la función \( \mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, 0 \rangle \).
- Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle e^t, e^{-t}, 0 \rangle \) en \( t = 0 \).
- Describe y esboza la curva representada por la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = \langle 6t, 6t – t^2 \rangle \).
- Localiza el punto más alto en la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle 6t, 6t – t^2 \rangle \) y da el valor de la función en este punto.
El vector posición para una partícula es \( \mathbf{r}(t) = t\mathbf{i} + t^2\mathbf{j} + t^3\mathbf{k} \). La gráfica se muestra aquí:
- Encuentra el vector velocidad en cualquier momento t.
- Encuentra la rapidez de la partícula en el tiempo \( t = 2 \) segundos.
- Encuentra la aceleración en el tiempo \( t = 2 \) segundos.
Una partícula viaja a lo largo del camino de una hélice con la ecuación \( \mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} + \sin(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k} \). Ve la gráfica presentada aquí:
Encuentra lo siguiente:
- Velocidad de la partícula en cualquier momento t.
- Rapidez de la partícula en cualquier momento t.
- Aceleración de la partícula en cualquier momento t.
- Encuentra el vector tangente unitario para la hélice.
Una partícula viaja a lo largo del camino de una elipse con la ecuación \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + 2\sin t \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} \). Encuentra lo siguiente:
- Velocidad de la partícula.
- Rapidez de la partícula en \( t = \frac{\pi}{4} \).
- Aceleración de la partícula en \( t = \frac{\pi}{4} \).
Dada la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = \langle \tan t, \sec t, 0 \rangle \) (la gráfica se muestra aquí), encuentra lo siguiente:
- Velocidad
- Rapidez
- Aceleración
- Encuentra la rapidez mínima de una partícula viajando a lo largo de la curva \( \mathbf{r}(t) = \langle t + \cos t, t – \sin t \rangle, t \in [0, 2\pi] \).
Dado \( \mathbf{r}(t) = t \mathbf{i} + 2\sin t \mathbf{j} + 2\cos t \mathbf{k} \) y \( \mathbf{u}(t) = \frac{1}{t} \mathbf{i} + 2\sin t \mathbf{j} + 2\cos t \mathbf{k} \), encuentra lo siguiente:
- \( \mathbf{r}(t) \times \mathbf{u}(t) \)
- \( \frac{d}{dt} (\mathbf{r}(t) \times \mathbf{u}(t)) \)
- Ahora, usa la regla del producto para la derivada del producto cruz de dos vectores y muestra que este resultado es el mismo que la respuesta para el problema anterior.
Encuentra el vector tangente unitario \( \mathbf{T}(t) \) para la siguiente función vectorial:
- \( \mathbf{r}(t) = \left\langle t, \frac{1}{t} \right\rangle \). La gráfica se muestra aquí:
- \( \mathbf{r}(t) = \langle t \cos t, t \sin t \rangle \)
- \( \mathbf{r}(t) = \langle t + 1, 2t + 1, 2t + 2 \rangle \)
Evalúa las siguientes integrales:
- \( \displaystyle \int \left(e^t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + \frac{1}{2t-1} \mathbf{k} \right) dt \)
- \( \displaystyle \int_0^1 \mathbf{r}(t) dt \), donde \( \mathbf{r}(t) = \left\langle \sqrt[3]{t}, \frac{1}{t+1}, e^{-t} \right\rangle \)
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