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Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.1

1. Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales.

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       En los siguientes ejercicios, use las reglas para sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas.

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      Suponga que Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-249.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-250.png En los siguientes ejercicios, calcule las sumas.

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      En los siguientes ejercicios, use propiedades de suma y fórmulas para reescribir y evaluar las sumas.

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      Sea Ln la suma del extremo izquierdo usando n subintervalos y sea Rn la suma correspondiente del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas izquierda y derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado.

12. L4 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-259.png en [2, 3]

13. R4 para g(x) = cos(πx) en [0, 1]

14. L6 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-260.png en [2, 5]

15. R6 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-260.png en [2, 5]

16. R4 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-261.png en [−2, 2]

17. L4 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-261.png en [−2, 2]

18. R4 para x2 − 2x + 1 en [0, 2]

19. L8 para x2 − 2x + 1 en [0, 2]

20. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L4 y R4, respectivamente — para f (x) = (2 − |x|) en [−2, 2]. Calcule su valor promedio y compárelo con el área debajo de la gráfica de f.

21. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L6 y R6, respectivamente — para f (x) = (3 − |3 − x|) en [0, 6]. Calcule su valor promedio y compárelo con el área debajo de la gráfica de f.

22. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L4 y R4, respectivamente — para f (x) = √(4 − x2) en [−2, 2] y compare sus valores.

23. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha (L6 y R6, respectivamente) para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-262.png en [0,6] y compare sus valores.

      Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe.

24. L30 para f (x) = x2 en [1, 2]

25. L10 para f (x) = √(4 − x2) en [−2, 2]

26. R20 para f (x) = senx en [0, π]

27. R100 para lnx en [1, e]

      En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los puntos finales izquierdo y derecho. ¿Se aproxima mejor el área bajo la curva en el intervalo dado por la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, diga “ninguno”.

28. [T]  L100  y  R100  para y = x2 − 3x + 1 en el intervalo [−1, 1]

29. [T]  L100  y  R100  para y = x2 en el intervalo [0, 1]

30. [T]  L50  y  R50  para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-263.png en el intervalo [2, 4]

31. [T]  L100  y  R100  para y = x3 en el intervalo [−1, 1]

32. [T]  L50  y  R50  para y = tan(x) en el intervalo [0, π/4]

33. [T]  L100  y  R100  para y = e2x en el intervalo [−1, 1]

34. Sea tj el tiempo que le tomó a Tejay van Garderen recorrer la jª etapa del Tour de Francia en 2014. Si hubo un total de 21 etapas, interprete Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-264.png .

35. Sea rj la precipitación total en Portland el día jª del año en 2009. Interpretar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-265.png

36. Sea dj las horas de luz diurna y δj el aumento de las horas de luz diurna desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, el día j del año. Interpretar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-266.png

37. Para ayudar a ponerse en forma, Joe compra un nuevo par de zapatos para correr. Si Joe corre 1 milla cada día en la semana 1 y agrega 1/10 millas a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total en los zapatos de Joe después de 25 semanas?

38. El siguiente cuadro da valores aproximados de la tasa atmosférica promedio anual de aumento del dióxido de carbono (CO2) cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Estime el aumento total de CO2 atmosférico entre 1964 y 2013.

Década 1964 – 1973 1974 – 1983 1984 – 1993 1994 – 2003 2004–2013
ppm/año 1.07 1.34 1.40 1.87 2.07

Tabla 5.1.2 Incremento anual promedio de CO2 atmosférico, 1964 – 2013 Fuente: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.

39. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas durante 20 años a partir del año dado. Estime el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010.

Año de inicio 1870 1890 1910 1930 1950 1970 1990
Cambio de 20 años 0.3 1.5 0.2 2.8 0.7 1.1 1.5

Tabla 5.1.3 Incrementos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870–1990 Fuente: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1

40. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio de un galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 fue de $ 2.60, ¿cuál fue el precio promedio de un galón de gasolina en 1950?

Año de inicio 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Cambio de 10 años 0.03 0.05 0.86 −0.03 0.29 1.12

Tabla 5.1.4 Incrementos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Fuente: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.

41. La siguiente tabla muestra el porcentaje de crecimiento de la población de EE. UU. A partir de julio del año indicado. Si la población de EE. UU. Era 281,421,906 en julio de 2000, calcule la población de EE. UU. En julio de 2010.

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
% De cambio/año 1.12 0.99 0.93 0.86 0.93 0.93 0.97 0.96 0.95 0.88

Tabla 5.1.5 Crecimiento porcentual anual de la población de EE. UU., 2000–2009 Fuente: http://www.census.gov/popest/data.

(Sugerencia: para obtener la población de julio de 2001, multiplique la población de julio de 2000 por 1.0112 para obtener 284,573,831).

      En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L8.

46. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N = 10,30,50 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-4.png en [−1, 1].

47. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N = 10,30,50 para Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-5.png en [−1, 1].

48. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, LN, para N = 10,30,50 para f (x) = sen2x en [0, 2π]. Compare estas estimaciones con π.

      En los siguientes ejercicios, use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de punto final RN y LN para N = 1, 10, 100. ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas, que puede encontrar a través de la geometría?

49. [T]  y = cos (πx) en el intervalo [0, 1]
50. [T]  y = 3x + 2 en el intervalo [3, 5]

      En los siguientes ejercicios, use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de punto final RN y LN para N = 1, 10, 100.

51. [T]  y = x4 − 5x2 + 4 en el intervalo [−2, 2], que tiene un área exacta de 32/15

52. [T]  y = lnx en el intervalo [1, 2], que tiene un área exacta de 2ln2 −1

53. Explique por qué, si f (a) ≥ 0 y f aumenta en [a, b], la estimación del punto final izquierdo es un límite inferior para el área debajo de la gráfica de f en [a, b].

54. Explique por qué, si f (b) ≥ 0 y f es decreciente en [a, b], la estimación del punto final izquierdo es un límite superior para el área debajo de la gráfica de f en [a, b].

55. Muestre que, en general, Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-6.png

56. Explique por qué, si f aumenta en [a, b], el error entre LN o RN y el área A debajo de la gráfica de f es como máximo Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-7.png

56. Explique por qué, si f es creciente en [a, b], el error entre LN o RN y el área A debajo de la gráfica de f es como máximo Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-8.png

57. Para cada uno de los tres gráficos siguientes:

  1. Obtener un límite inferior L(A) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva.
  2. Obtener un límite superior U(A) para el área agregando a L(A) las áreas B(A) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva.
Gráfico 1
Gráfico 2
Gráfico 3

58. En el ejercicio anterior, explique por qué L(A) no se hace más pequeño mientras U(A) no se vuelve más grande ya que los cuadrados se subdividen en cuatro cajas de igual área.

59. Un círculo unitario está formado por n cuñas equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen(π/n). La base del triángulo exterior es B = cos(π/n) + sen(π/n)⋅tan(π/n) y la altura es H = Bsen(2π/n). Usa esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π.

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