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Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.1

1. Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales.

       En los siguientes ejercicios, use las reglas para sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas.

      Suponga que   y  En los siguientes ejercicios, calcule las sumas.

      En los siguientes ejercicios, use propiedades de suma y fórmulas para reescribir y evaluar las sumas.

      Sea L_n la suma del extremo izquierdo usando n subintervalos y sea R_n la suma correspondiente del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas izquierda y derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado.

12. L₄ para  en [2, 3]

13. R₄ para g(x) = cos(πx) en [0, 1]

14. L₆ para en [2, 5]

15. R₆ para en [2, 5]

16. R₄ para en [−2, 2]

17. L₄ para en [−2, 2]

18. R₄ para x² − 2x + 1 en [0, 2]

19. L₈ para x² − 2x + 1 en [0, 2]

20. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L₄ y R₄, respectivamente — para f (x) = (2 − |x|) en [−2, 2]. Calcule su valor promedio y compárelo con el área debajo de la gráfica de f.

21. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L₆ y R₆, respectivamente — para f (x) = (3 − |3 − x|) en [0, 6]. Calcule su valor promedio y compárelo con el área debajo de la gráfica de f.

22. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha — L₄ y R₄, respectivamente — para f (x) = √(4 − x²) en [−2, 2] y compare sus valores.

23. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha (L₆ y R₆, respectivamente) para en [0,6] y compare sus valores.

      Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe.

24. L₃₀ para f (x) = x² en [1, 2]

25. L₁₀ para f (x) = √(4 − x²) en [−2, 2]

26. R₂₀ para f (x) = senx en [0, π]

27. R₁₀₀ para lnx en [1, e]

      En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los puntos finales izquierdo y derecho. ¿Se aproxima mejor el área bajo la curva en el intervalo dado por la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, diga “ninguno”.

28. [T]  L₁₀₀  y  R₁₀₀  para y = x² − 3x + 1 en el intervalo [−1, 1]

29. [T]  L₁₀₀  y  R₁₀₀  para y = x² en el intervalo [0, 1]

30. [T]  L₅₀  y  R₅₀  para en el intervalo [2, 4]

31. [T]  L₁₀₀  y  R₁₀₀  para y = x³ en el intervalo [−1, 1]

32. [T]  L₅₀  y  R₅₀  para y = tan(x) en el intervalo [0, π/4]

33. [T]  L₁₀₀  y  R₁₀₀  para y = e^2x en el intervalo [−1, 1]

34. Sea t_j el tiempo que le tomó a Tejay van Garderen recorrer la jª etapa del Tour de Francia en 2014. Si hubo un total de 21 etapas, interprete .

35. Sea r_j la precipitación total en Portland el día jª del año en 2009. Interpretar

36. Sea d_j las horas de luz diurna y δ_j el aumento de las horas de luz diurna desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, el día j del año. Interpretar

37. Para ayudar a ponerse en forma, Joe compra un nuevo par de zapatos para correr. Si Joe corre 1 milla cada día en la semana 1 y agrega 1/10 millas a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total en los zapatos de Joe después de 25 semanas?

38. El siguiente cuadro da valores aproximados de la tasa atmosférica promedio anual de aumento del dióxido de carbono (CO₂) cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Estime el aumento total de CO₂ atmosférico entre 1964 y 2013.

Década	1964 – 1973	1974 – 1983	1984 – 1993	1994 – 2003	2004–2013
ppm/año	1.07	1.34	1.40	1.87	2.07

Tabla 5.1.2 Incremento anual promedio de CO₂ atmosférico, 1964 – 2013 Fuente: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.

39. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas durante 20 años a partir del año dado. Estime el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010.

Año de inicio	1870	1890	1910	1930	1950	1970	1990
Cambio de 20 años	0.3	1.5	0.2	2.8	0.7	1.1	1.5

Tabla 5.1.3 Incrementos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870–1990 Fuente: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1

40. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio de un galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 fue de $ 2.60, ¿cuál fue el precio promedio de un galón de gasolina en 1950?

Año de inicio	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Cambio de 10 años	0.03	0.05	0.86	−0.03	0.29	1.12

Tabla 5.1.4 Incrementos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Fuente: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.

41. La siguiente tabla muestra el porcentaje de crecimiento de la población de EE. UU. A partir de julio del año indicado. Si la población de EE. UU. Era 281,421,906 en julio de 2000, calcule la población de EE. UU. En julio de 2010.

Año	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
% De cambio/año	1.12	0.99	0.93	0.86	0.93	0.93	0.97	0.96	0.95	0.88

Tabla 5.1.5 Crecimiento porcentual anual de la población de EE. UU., 2000–2009 Fuente: http://www.census.gov/popest/data.

(Sugerencia: para obtener la población de julio de 2001, multiplique la población de julio de 2000 por 1.0112 para obtener 284,573,831).

      En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L₈.

46. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L_N, para N = 10,30,50 para en [−1, 1].

47. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L_N, para N = 10,30,50 para  en [−1, 1].

48. [T]  Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L_N, para N = 10,30,50 para f (x) = sen²x en [0, 2π]. Compare estas estimaciones con π.

      En los siguientes ejercicios, use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de punto final R_N y L_N para N = 1, 10, 100. ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas, que puede encontrar a través de la geometría?

49. [T]  y = cos (πx) en el intervalo [0, 1]
50. [T]  y = 3x + 2 en el intervalo [3, 5]

      En los siguientes ejercicios, use una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de punto final R_N y L_N para N = 1, 10, 100.

51. [T]  y = x⁴ − 5x² + 4 en el intervalo [−2, 2], que tiene un área exacta de 32/15

52. [T]  y = lnx en el intervalo [1, 2], que tiene un área exacta de 2ln2 −1

53. Explique por qué, si f (a) ≥ 0 y f aumenta en [a, b], la estimación del punto final izquierdo es un límite inferior para el área debajo de la gráfica de f en [a, b].

54. Explique por qué, si f (b) ≥ 0 y f es decreciente en [a, b], la estimación del punto final izquierdo es un límite superior para el área debajo de la gráfica de f en [a, b].

55. Muestre que, en general,

56. Explique por qué, si f aumenta en [a, b], el error entre L_N o R_N y el área A debajo de la gráfica de f es como máximo

56. Explique por qué, si f es creciente en [a, b], el error entre L_N o R_N y el área A debajo de la gráfica de f es como máximo

57. Para cada uno de los tres gráficos siguientes:

58. En el ejercicio anterior, explique por qué L(A) no se hace más pequeño mientras U(A) no se vuelve más grande ya que los cuadrados se subdividen en cuatro cajas de igual área.

59. Un círculo unitario está formado por n cuñas equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen(π/n). La base del triángulo exterior es B = cos(π/n) + sen(π/n)⋅tan(π/n) y la altura es H = Bsen(2π/n). Usa esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π.