| 4.2 Aproximaciones lineales y diferenciales |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.2 

46. ¿Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica \(y = mx + b\)?

47. Determina las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Usa una gráfica para probar tu resultado.

48. Explica por qué la aproximación lineal se vuelve menos precisa a medida que aumenta la distancia entre \(x\) y \(a\). Usa una gráfica para probar tu argumento.

49. ¿Cuándo es exacta la aproximación lineal?

Para los siguientes ejercicios, encuentra la aproximación lineal \(L(x)\) a \(y = f(x)\) cerca de \(x = a\) para la función:

50. \(f(x) = x + x^4, a = 0\)

51. \(f(x) = \frac{1}{x}, a = 2\)

52. \(f(x) = \tan x, a = \frac{\pi}{4}\)

53. \(f(x) = \sin x, a = \frac{\pi}{2}\)

54. \(f(x) = x \sin x, a = 2\pi\)

55. \(f(x) = \sin^2 x, a = 0\)

Para los siguientes ejercicios, calcula los valores dados con una precisión de 0.01 decidiendo la \(f(x)\) y \(a\) apropiadas, y evaluando \(L(x) = f(a) + f'(a)(x – a)\). Verifica tu respuesta usando una calculadora:

56. [T] \((2.001)^6\)

57. [T] \(\sin(0.02)\)

58. [T] \(\cos(0.03)\)

59. [T] \((15.99)^{\frac{1}{4}}\)

60. [T] \(\frac{1}{0.98}\)

61. [T] \(\sin(3.14)\)

Para los siguientes ejercicios, determina la \(f(x)\) y \(a\) apropiadas, y evalúa \(L(x) = f(a) + f'(a)(x – a)\). Calcula el error numérico en las aproximaciones lineales que siguen:

62. [T] \((1.01)^3\)

63. [T] \(\cos(0.01)\)

64. [T] \((\sin(0.01))^2\)

65. [T] \((1.01)^{-3}\)

66. [T] \(\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10}\)

67. [T] \(\sqrt{8.99}\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra el diferencial de la función:

68. \(y = 3x^4 + x^2 – 2x + 1\)

69. \(y = x \cos x\)

70. \(y = \sqrt{1 + x}\)

71. \(y = \frac{x^2 + 2}{x – 1}\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra el diferencial y evalúa para los \(x\) y \(dx\) dados:

72. \(y = 3x^2 – x + 6, \quad x = 2, \quad dx = 0.1\)

73. \(y = \frac{1}{x + 1}, \quad x = 1, \quad dx = 0.25\)

74. \(y = \tan x, \quad x = 0, \quad dx = \frac{\pi}{10}\)

75. \(y = \frac{3x^2 + 2}{\sqrt{x + 1}}, \quad x = 0, \quad dx = 0.1\)

76. \(y = \frac{\sin(2x)}{x}, \quad x = \pi, \quad dx = 0.25\)

77. \(y = x^3 + 2x + \frac{1}{x}, \quad x = 1, \quad dx = 0.05\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra el cambio en el volumen \(dV\) o en el área de la superficie \(dA\):

78. \(dV\) si los lados de un cubo cambian de 10 a 10.1.

79. \(dA\) si los lados de un cubo cambian de \(x\) a \(x + dx\).

80. \(dA\) si el radio de una esfera cambia de \(r\) a \(r + dr\).

81. \(dV\) si el radio de una esfera cambia de \(r\) a \(r + dr\).

82. \(dV\) si un cilindro circular con \(r = 2\) cambia su altura de 3 cm a 3.05 cm.

83. \(dV\) si un cilindro circular de altura 3 cambia su radio de \(r = 2\) a \(r = 1.9\) cm.

84. Se mide que una pelota de golf esférica tiene un radio de 5 mm, con un posible error de medición de 0.1 mm. ¿Cuál es el posible cambio en el volumen?

85. Una piscina tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio en el volumen si solo se llena hasta 5.5 pies?

86. Un cono de helado tiene una altura de 4 pulgadas y un radio de 1 pulgada. Si el cono tiene un grosor de 0.1 pulgadas, ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluyendo la cáscara, y el volumen del helado que se puede meter dentro de la cáscara?

Para los siguientes ejercicios, confirma las aproximaciones usando la aproximación lineal en \(x = 0\):

87. \(\sqrt{1 – x} \approx 1 – \frac{1}{2}x\)

88. \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \approx 1\)

89. \(\sqrt{c^2 + x^2} \approx c\)