| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.9. Ecuaciones lineales de orden superior | 9.9.4 Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior |
Ejercicios propuestos para la sección 9.9.4
En los ejercicios 1 a 21 encuentre una solución particular, dado el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria
En los ejercicios 22 a 33, resuelva el problema con valores iniciales, dado el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Donde lo indique C/G, grafique la solución.
34. Supongamos que la ecuación
(A)
es normal en un intervalo (a, b). Sea {y1, y2, . . ., yn} un conjunto fundamental de soluciones de su ecuación complementaria en (a, b), sea W el wronskiano de {y1, y2, . . ., yn}, y sea Wj el determinante obtenido al eliminar la última fila y la j-ésima columna de W. Supongamos que x0 está en (a, b), sea
y definamos
yp = u1y1 + u2y2 + · · · + unyn.
(a) Demuestre que yp es una solución de (A) y que
y
SUGERENCIA: Consulte la derivación del método de variación de parámetros al comienzo de la sección.
(b) Demuestre que yp es la solución del problema con valores iniciales
(c) Demuestre que yp se puede escribir como
donde
que se llama función de Green para (A).
(d) Demuestre que
(e) Demuestre que si a < t < b entonces
(f) Demuestre que
En los ejercicios 35 a 42, utilice el método sugerido en el ejercicio 34 para encontrar una solución particular en la forma dado el conjunto fundamental de soluciones indicado. Suponga que x y x0 están en un intervalo en el que la ecuación es normal.