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9.7.2 Soluciones en serie cerca de un punto ordinario I
Muchas aplicaciones físicas dan lugar a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden de la forma
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0, (9.7.2.1)
donde P0, P1 y P2 son polinomios. Por lo general, las soluciones de estas ecuaciones no se pueden expresar en términos de funciones elementales familiares. Por lo tanto, consideraremos el problema de representar soluciones de (9.7.2.1) con series.
Asumimos en todo momento que P0, P1 y P2 no tienen factores comunes. Entonces decimos que x0 es un punto ordinario de (9.7.2.1) si P0(x0) ≠ 0, o un punto singular si P0(x0) = 0. Para la ecuación de Legendre,
(1 − x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0, (9.7.2.2)
x0 = 1 y x0 = −1 son puntos singulares y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Para la ecuación de Bessel,
x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2) y = 0,
x0 = 0 es un punto singular y todos los demás puntos son puntos ordinarios. Si P0 es una constante distinta de cero como en la ecuación de Airy,
y′′ − xy = 0, (9.7.2.3)
entonces todo punto es un punto ordinario.
Dado que los polinomios son continuos en todas partes, P1/P0 y P2/P0 son continuos en cualquier punto x0 que no sea un cero de P0. Por lo tanto, si x0 es un punto ordinario de (9.7.2.1) y a0 y a1 son números reales arbitrarios, entonces el problema de valor inicial
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P1(x)y = 0, y(x0) = a0, y′(x0) = a1 (9.7.2.4)
tiene una solución única en el intervalo abierto más grande que contiene a x0 y no contiene ceros de P0. Para ver esto, reescribimos la ecuación diferencial en (9.7.2.4) como
y aplicamos el Teorema 9.5.1.1 con p = P1/P0 y q = P2/P0. En esta sección y en la siguiente consideramos el problema de representar soluciones de (9.7.2.1) mediante series de potencias que convergen para valores de x cerca de un punto ordinario x0.
Enunciamos el siguiente teorema sin demostración.
Teorema 9.7.2.1
Supongamos que P0, P1 y P2 son polinomios sin factor común y P0 no es idénticamente igual a cero. Sea x0 un punto tal que P0(x0) ≠ 0, y sea ρ la distancia de x0 al cero más cercano de P0 en el plano complejo. (Si P0 es constante, entonces ρ = ∞.) Entonces cada solución de
P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0 (9.7.2.5)
se puede representar mediante una serie de potencias
(9.7.2.6)
que converge al menos en el intervalo abierto (x0 − ρ, x0 + ρ). (Si P0 no es constante, por lo que ρ es necesariamente finito, entonces el intervalo abierto de convergencia de (9.7.2.6) puede ser mayor que (x0 − ρ, x0 + ρ). Si P0 es constante, entonces ρ = ∞ y (x0 − ρ, x0 + ρ) = (−∞, ∞). ♦
Llamamos a (9.7.2.6) una solución en serie de potencias en x − x0 de (9.7.2.5). Ahora desarrollaremos un método para encontrar soluciones en serie de potencias de (9.7.2.5). Para este propósito escribimos (9.7.2.5) como Ly = 0, donde
Ly = P0y′′ + P1y′ + P2y. (9.7.2.7)
El teorema 9.7.2.1 implica que toda solución de Ly = 0 en (x0 − ρ, x0 + ρ) se puede escribir como
Haciendo x = x0 en esta serie y en la serie
se obtiene y(x0) = a0 y y′(x0) = a1. Dado que cada problema de valor inicial (9.7.2.4) tiene una solución única, esto significa que a0 y a1 pueden elegirse arbitrariamente, y a2, a3, . . . están determinados únicamente por ellos.
Para encontrar a2, a3, . . , escribimos P0, P1 y P2 en potencias de x − x0, sustituimos
en (9.7.2.7) y obtenemos los coeficientes de potencias iguales de x − x0. Esto produce
(9.7.2.8)
donde {b0, b1, . . ., bn, . . .} se expresan en términos de {a0, a1, . . ., an, . . .} y los coeficientes de P0, P1 y P2, escritos en potencias de x − x0. Dado que (9.7.2.8) y el inciso (a) del Teorema 9.7.1.5 implican que Ly = 0 si y solo si bn = 0 para n ≥ 0, todas las soluciones en serie de potencias en x − x0 de Ly = 0 se pueden obtener eligiendo a0 y a1 arbitrariamente y calculando a2, a3, . . . , sucesivamente de manera que bn = 0 para n ≥ 0. Por simplicidad, a la serie de potencias así obtenida la llamaremos serie de potencias en x − x0 para la solución general de Ly = 0, sin identificar explícitamente el intervalo abierto de convergencia de la serie .
Ejemplo 9.7.2.1: Representación en series de potencias de la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden
Sea x0 un número real arbitrario. Encuentre la serie de potencias en x − x0 para la solución general de
y′′ + y = 0. (9.7.2.9)
Solución:
Aquí
Ly = y′′ + y.
Si
entonces
así que
Para recolectar coeficientes de potencias similares de x − x0, cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce
con
bn = (n + 2)(n + 1)an+2 + an.
Por lo tanto Ly = 0 si y solo si
(9.7.2.10)
donde a0 y a1 son arbitrarios. Como los índices de los lados izquierdo y derecho de (9.7.2.10) difieren en dos, escribimos (9.7.2.10) por separado para n par (n = 2m) y n impar (n = 2m + 1). Esto produce
(9.7.2.11)
y
(9.7.2.12)
Calculando los coeficientes de las potencias pares de x − x0 de (9.7.2.11) se obtiene
y en general,
(9.7.2.13)
Calculando los coeficientes de las potencias impares de x − x0 de (9.7.2.12) se obtiene
y en general,
(9.7.2.14)
Por lo tanto, la solución general de (9.7.2.9) se puede escribir como
o, de (9.7.2.13) y (9.7.2.14), como
(9.7.2.15)
Si recordamos del cálculo que
y 
entonces (9.7.2.15) se convierte en
y = a0cos(x − x0) + a1sen(x − x0),
que debería parecer familiar. ♦
Las ecuaciones como (9.7.2.10), (9.7.2.11) y (9.7.2.12), que definen un coeficiente dado en la secuencia {an} en términos de uno o más coeficientes con índices menores, se denominan relaciones de recurrencia. Cuando usamos una relación de recurrencia para calcular los términos de una secuencia, estamos calculando recursivamente.
En el resto de esta sección consideramos el problema de encontrar soluciones en series de potencias en x − x0 para ecuaciones de la forma
1 + α(x − x0)2 y′′ + β(x − x0)y′ + γy = 0. (9.7.2.16)
Muchas ecuaciones importantes que surgen en las aplicaciones tienen esta forma con x0 = 0, incluida la ecuación de Legendre (9.7.2.2), la ecuación de Airy (9.7.2.3), la ecuación de Chebyshev,
(1 − x2)y′′ − xy′ + α2y = 0,
y la ecuación de Hermite,
y′′ − 2xy′ + 2αy = 0.
Ya que
P0(x) = 1 + α(x − x0)2
en (9.7.2.16), el punto x0 es un punto ordinario de (9.7.2.16), y el Teorema 9.7.2.1 implica que las soluciones de (9.7.2.16) pueden escribirse como series de potencias en x − x0 que convergen en el intervalo (x0−1/√|α|, x0+1/√|α|)
si α ≠ 0, o sobre (−∞, ∞) si α = 0. Veremos que los coeficientes de estas series de potencias se pueden obtener por métodos similares al utilizado en el ejemplo 9.7.2.1.
Para simplificar la búsqueda de los coeficientes, introducimos alguna notación para los productos:
De este modo,
y
Nosotros definimos
no importa cuál sea la forma de bj.
Ejemplo 9.7.2.2: Solución en series de una ecuación diferencial de segundo orden
Encuentre la serie de potencias en x para la solución general de
(1 + 2x2)y′′ + 6xy′ + 2y = 0. (9.7.2.17)
Solución:
Aquí
Ly = (1 + 2x2)y′′ + 6xy′ + 2y
si
entonces
y 
así que
Para recolectar coeficientes de xn, cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce
con
bn = (n + 2)(n + 1)an + 2 + 2(n + 1)2an, n ≥ 0.
Para obtener soluciones de (9.7.2.17), establecemos bn = 0 para n ≥ 0. Esto es equivalente a la relación de recurrencia
(9.7.2.18)
Como los índices de la izquierda y la derecha difieren en dos, escribimos (9.7.2.18) por separado para n = 2m y n = 2m + 1, como en el Ejemplo 9.7.2.1. Esto produce
(9.7.2.19)
y
(9.7.2.20)
Calculando los coeficientes de potencias pares de x de (9.7.2.19) se obtiene
En general
(9.7.2.21)
(Observe que (9.7.2.21) es correcta para m = 0 porque definimos 
para cualquier bj.)
Calculando los coeficientes de potencias impares de x de (9.7.2.20) se obtiene
En general
(9.7.2.22)
De (9.7.2.21) y (9.7.2.22),
es la serie de potencias en x para la solución general de (9.7.2.17). Como P0(x) = 1 + 2x2 no tiene ceros reales, el Teorema 9.5.1.1 implica que toda solución de (9.7.2.17) está definida en (−∞, ∞). Sin embargo, dado que P0(±i/√2) = 0, el teorema 9.7.2.1 solo implica que la serie de potencias converge en (−1/√2, 1/√2) para cualquier elección de a0 y a1. ♦
Los resultados de los ejemplos 9.7.2.1 y 9.7.2.2 son consecuencias del siguiente teorema general.
Teorema 9.7.2.2
Los coeficientes {an} en cualquier solución 
de
1 + α(x − x0)2y′′ + β(x − x0)y′ + γy = 0 (9.7.2.23)
satisfacen la relación de recurrencia
(9.7.2.24)
donde
p(n) = αn(n − 1) + βn + γ. (9.7.2.25)
Además, los coeficientes de las potencias pares e impares de x − x0 se pueden calcular por separado como
(9.7.2.26)
y
(9.7.2.27)
Donde a0 y a1 son arbitrarias. ♦
Prueba:
Aquí
Si
entonces
y 
Por eso
de (9.7.2.25). Para recolectar coeficientes de potencias de x − x0, cambiamos el índice de suma en la primera suma. Esto produce
Entonces, Ly = 0 si y solo si
que es equivalente a (9.7.2.24). Escribiendo (9.7.2.24) por separado para los casos donde n = 2m y n = 2m + 1 se obtiene (9.7.2.26) y (9.7.2.27). ♦
Ejemplo 9.7.2.3
Encuentre la serie de potencias en x − 1 para la solución general de
(2 + 4x − 2x2)y′′ − 12(x − 1)y′ − 12y = 0. (9.7.2.28)
Solución:
Primero debemos escribir el coeficiente P0(x) = 2 + 4x − 2x2 en potencias de x − 1. Para ello, escribimos x = (x − 1) + 1 en P0(x) y luego desarrollamos los términos, reuniendo potencias de x − 1; de este modo,
Por lo tanto podemos reescribir (9.7.2.28) como
4 − 2(x − 1)2y′′ − 12(x − 1)y′ − 12y = 0,
o equivalente,
Esto es de la forma (9.7.2.23) con α = −1/2, β = −3 y γ = −3. Por lo tanto, de (9.7.2.25)
Por lo tanto, el Teorema 9.7.2.2 implica que
y
Le dejamos a usted mostrar que
y 
lo que implica que la serie de potencias en x − 1 para la solución general de (9.7.2.28) es
♦
En los ejemplos considerados hasta ahora pudimos obtener fórmulas cerradas para coeficientes en las soluciones de series de potencias. En algunos casos esto es imposible, y debemos conformarnos con calcular un número finito de términos en la serie. El siguiente ejemplo ilustra esto con un problema de valor inicial.
Ejemplo 9.7.2.4
Calcule a0, a1, . . . , a7 en la solución en serie 
del problema de valor inicial
(1 + 2x2)y′′ + 10xy′ + 8y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −3. (9.7.2.29)
Solución:
Como α = 2, β = 10 y γ = 8 en (9.7.2.29),
p(n) = 2n(n − 1) + 10n + 8 = 2(n + 2)2.
Por lo tanto
Escribiendo esta ecuación por separado para n = 2m y n = 2m + 1 se obtiene
(9.7.2.30)
y
(9.7.2.31)
Comenzando con a0 = y(0) = 2, calculamos a2, a4 y a6 a partir de (9.7.2.30):
Comenzando con a1 = y′(0) = −3, calculamos a3, a5 y a7 de (9.7.2.31):
Por lo tanto la solución de (9.7.2.29) es
♦
USO DE TECNOLOGÍA
Calcular coeficientes recursivamente como en el Ejemplo 9.7.2.4 es tedioso. Recomendamos que haga este tipo de cálculo escribiendo un programa corto para implementar la relación de recurrencia apropiada en un
calculadora o computadora. Es posible que desee hacer esto al verificar ejemplos y hacer ejercicios (identificados con el símbolo C) en este capítulo que requieren el cálculo numérico de los coeficientes en soluciones en serie. Obtuvimos las respuestas a estos ejercicios usando un software que puede producir respuestas en forma de números racionales. Sin embargo, es perfectamente aceptable, y más práctico, obtener sus respuestas en formato decimal. Siempre puedes comprobarlos convirtiendo nuestras fracciones a decimales.
Si está interesado en usar series para calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de una ecuación diferencial, entonces si hay o no una forma cerrada simple para los coeficientes es esencialmente irrelevante. Para propósitos de cálculo, generalmente es más eficiente comenzar con los coeficientes dados a0 = y(x0) y a1 = y′(x0), calcular a2, . . . , aN recursivamente, y luego calcule los valores aproximados de la solución a partir del polinomio de Taylor
El truco consiste en decidir cómo elegir N para que la aproximación y(x) ≈ TN(x) sea lo suficientemente precisa en el subintervalo del intervalo de convergencia que le interesa. En los ejercicios de cálculo de esta y las siguientes dos secciones, a menudo se le pedirá que obtenga la solución de un problema determinado mediante la integración numérica con el software de su elección (consulte la Sección 9.10.1 para una breve discusión de uno de esos métodos), y que compare la solución obtenida de esta manera con las aproximaciones obtenido con TN para varios valores de N. Este es un tipo de ejercicio típico de libro de texto, diseñado para darle una idea de cómo se comporta la precisión de la aproximación y(x) ≈ TN(x) como una función de N y el intervalo que estamos trabajando. En la vida real, elegiría uno u otro de los dos métodos (integración numérica o solución en serie). Si elige el método de solución en serie, entonces un procedimiento práctico para determinar un valor adecuado de N es continuar aumentando N hasta el máximo de |TN − TN − 1| en el intervalo de interés está dentro del margen de error que está dispuesto a aceptar.
Al resolver problemas computacionales que requieren la solución numérica de ecuaciones diferenciales, debe elegir el procedimiento de integración numérica más preciso que admita su software y experimentar con el tamaño de paso hasta que esté seguro de que los resultados numéricos son lo suficientemente precisos para el problema en cuestión.