| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.5 Ecuaciones lineales de segundo orden | El método de coeficientes indeterminados I |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.5.4

      En los Ejercicios 1 a 14 encuentre una solución particular.

      En los ejercicios 15 a 19 encuentre la solución general.

      En los Ejercicios 20 a 23 resuelve el problema de valor inicial y traza la solución.

      En los ejercicios 24 a 29, use el principio de superposición para encontrar una solución particular.

30. (a) Demuestre que y es una solución de la ecuación de coeficientes constantes

ay′′ + by′ + cy = e^αxG(x)         (A)

Si y solo si y = ue^αx, donde u satisface

au′′ + p′(α)u′ + p(α)u = G(x)         (B)

y p(r) = ar² + br + c es el polinomio característico de la ecuación complementaria

ay′′ + by′ + cy = 0

Para el resto de este ejercicio, sea G un polinomio. Entregar las pruebas solicitadas para el caso en que

G(x) = g₀ + g₁x + g₂x² + g₃x³.

(b) Demuestre que si e^αx no es una solución de la ecuación complementaria entonces (B) tiene una solución particular de la forma u_p = A(x), donde A es un polinomio del mismo grado que G, como en el Ejemplo 9.5.4.4. Concluya que (A) tiene una solución particular de la forma y_p = e^αxA(x).

(c) Demuestre que si e^αx es una solución de la ecuación complementaria y xe^αx no lo es, entonces (B) tiene una solución particular de la forma u_p = xA(x), donde A es un polinomio del mismo grado que G, como en el Ejemplo 9.5.4.5. Concluya que (A) tiene una solución particular de la forma y_p = xe^αxA(x).

(d) Demuestre que si e^αx y xe^αx son ambas soluciones de la ecuación complementaria, entonces (B) tiene una solución particular de la forma u_p = x²A(x), donde A es un polinomio del mismo grado que G, y x²A(x ) se puede obtener integrando G/a dos veces, tomando las constantes de integración como cero, como en el Ejemplo 9.5.4.6. Concluya que (A) tiene una solución particular de la forma y_p = x²e^αxA(x).

      Los ejercicios 31 a 36 tratan las ecuaciones consideradas en los ejemplos 9.5.4.1 a 9.5.4.6. Sustituya la forma sugerida de y_p en la ecuación e iguale los coeficientes resultantes de funciones similares en los dos lados de la ecuación resultante para derivar un conjunto de ecuaciones simultáneas para los coeficientes en y_p. Luego resuelve los coeficientes para obtener y_p. Compare el trabajo que ha realizado con el trabajo requerido para obtener los mismos resultados en los Ejemplos 9.5.4.1 a 9.5.4.6.

31. Compare con el Ejemplo 9.5.4.1:

y′′ − 7y′ + 12y = 4e^2x;  y_p = Ae^2x

32. Compare con el Ejemplo 9.5.4.2:

y′′ − 7y′ + 12y = 5e^4x;  y_p = Axe^4x

33. Compare con el Ejemplo 9.5.4.3:

y′′ − 8y′ + 16y = 2e^4x;  y_p = Ax²e^4x

34. Compare con el Ejemplo 9.5.4.4:

y′′ − 3y′ + 2y = e^3x(−1 + 2x + x²),  y_p = e^3x(A + Bx + Cx²)

35. Compare con el Ejemplo 9.5.4.5:

y′′ − 4y′ + 3y = e^3x(6 + 8x + 12x²),  y_p = e^3x(Ax + Bx² + Cx³)

36. Compare con el Ejemplo 9.5.4.6:

4y′′ + 4y′ + y = e^−x/2(−8 + 48x + 144x²),  yp = e^−x/2(Ax² + Bx³ + Cx⁴)

37. Escriba y = ue^αx para encontrar la solución general.

38. Supongamos que α ≠ 0 y k es un número entero positivo. En la mayoría de los libros de cálculo, las integrales como ∫x^ke^αxdx se evalúan integrando por partes k veces. Este ejercicio presenta otro método. Sea

con

P(x) = p₀ + p₁x + · · · +p_kx^k,  (donde p_k ≠ 0).

(a) Demuestre que y = ee^αxu, donde

u′ + αu = P(x).         (A)

(b) Demuestre que (A) tiene una solución particular de la forma

u_p = A₀ + A₁x + · · · + A_kx^k,

donde A_k, A_k−1, …, A₀ pueden calcularse sucesivamente igualando los coeficientes de x_k, x_k−1, . . ., 1 en ambos lados de la ecuación

u′_p + αu_p = P(x).

(c) Concluya que

donde c es una constante de integración.

39. Use el método del ejercicio 38 para evaluar la integral.

40. Use el método sugerido en el ejercicio 38 para evaluar ∫x^ke^αxdx, donde k es un entero positivo arbitrario y α ≠ 0.